Darstellung von Teilmengen im R^2

24.09.2014, 11:18

Athena311

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Darstellung von Teilmengen im R^2

Meine Frage:
Hallo!

Ich befinde mich gerade in der Univorbereitung und mir fallen doch ein paar Lücken auf, die ich jetzt schließen will. Ich habe in einer Aufgabe 6 Teilmengen von R^2, die ich graphisch darstellen soll.

A= {(x,y) ? R^2| x*y = 0}

B= {(x,y) ? R^2| x=y^2}

C= {(x,y) ? R^2| ¼ <x<4 ^ 0< y < 1/x }

D= {(x,y) ? R^2| (x-x)^2 + (y-2)^2 < 2}

E= {(x,y) ? R^2| x^2 + y^2 = 4}

F= {(x,y) ? R^2| x^2 + y^2 > 9}

Mir sagt das jetzt nicht so furchtbar viel, ich habe einfach mal gedacht, es geht darum, diese Mengen im Koordinatensystem darzustellen.

Meine Ideen:
Bei A denke ich mir, es müsste die x-Achse sein. Bei B habe ich die Gleichung nach y umgestellt und die Wurzelfunktion gezeichnet. Aber ab C weiß ich nicht mehr, wie das gehen soll unglücklich

unglücklich

Da kommt ja keine wirkliche Funktion raus, wie soll ich das dann zeichnen? Bei D und F habe ich mit den größer/kleiner - Zeichen Probleme. E müsste gehen, das kann ich ja wieder nach y umstellen.

24.09.2014, 11:19

bijektion

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Zitat:

Mir sagt das jetzt nicht so furchtbar viel, ich habe einfach mal gedacht, es geht darum, diese Mengen im Koordinatensystem darzustellen.

Ja.

Zitat:

Bei A denke ich mir, es müsste die x-Achse sein.

machen wir es doch der Reihe nach smile

smile

Wann ist ein Produkt denn $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ? Warum sollte es nicht auch die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2014, 11:24

törtchen22

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Guter Einwand. smile

smile

Also die x- und y-Achse.

(Ich bin die Fragestellerin, hatte zwischenzeitlich meine Anmeldedaten verlegt Wink

Wink

.)

24.09.2014, 11:29

bijektion

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Zitat:

Also die x- und y-Achse.

Ja, gut.

Da du B ja scheinbar bereits hast, mus ich erstmal Fragen ob es bei C tatsächlich um $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in\mathbb{R}^2 | \frac{1}{4}<x<4 \text{ und } 0<y<\frac{1}{x}\right\} \end{eqnarray*}$ geht?

24.09.2014, 11:33

törtchen22

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Die größer - Zeichen sind eigentlich als größer/gleichgroß-Zeichen gedacht - wie schreib ich das so toll am Computer? Big Laugh

Big Laugh

Sonst stimmt es aber.

24.09.2014, 11:36

bijektion

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Zitat:

Die größer - Zeichen sind eigentlich als größer/gleichgroß-Zeichen gedacht

Also $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in\mathbb{R}^2 | \frac{1}{4}\leq x\leq 4 \text{ und } 0\leq y\leq \frac{1}{x}\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst dir die Formel fast schon hier komplett zusammenklicken Augenzwinkern

Augenzwinkern

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24.09.2014, 11:37

törtchen22

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Ja, perfekt! Big Laugh

Big Laugh

Danke für den Hinweis - merk ich mir fürs nächste Mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2014, 11:39

bijektion

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Ok. Den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Bereich kannst du doch schonmal zeichnen, der wird sich ja nichtmehr verändern.

24.09.2014, 11:45

törtchen22

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Alles klar. Der x-Bereich zwischen ¼ und 4 liegt auf jeden Fall in der Menge.

Der größte Wert, den y annehmen kann, ist doch 4 - wenn man für x = ¼ einsetzt? Und der kleinste ¼ - wenn man x=4 einsetzt.

Ich habe allerdings immer noch keine Vorstellung davon, wie das im Koordinatensystem aussehen soll. unglücklich

unglücklich

24.09.2014, 11:51

bijektion

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Jetzt hast du die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ markiert. Zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zeichnest du jetzt einen senkrechten, zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse parallelen Bereich ein, in dem dann $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ liegen darf.
So fortfahrend erhälst du die Menge.

24.09.2014, 11:59

törtchen22

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Gut, das hab ich hinbekommen - vielen Dank! smile

smile

Was mich bei D irritiert - die erste Klammer, also $\begin{eqnarray*} \left(X- X\right)^{2} \end{eqnarray*}$

ergibt doch immer Null. Und dann habe ich in der Vorschrift gar kein x mehr.

24.09.2014, 12:01

bijektion

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Wenn du das so richtig abgeschrieben hast, fällt das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ tatsächlich weg.
Dann muss nur noch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (y-2)^2 \leq 2 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

24.09.2014, 12:17

törtchen22

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Also der gesamte Bereich zwischen $\begin{eqnarray*} 2+ \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2- \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ? Das habe ich jetzt so ausgerechnet. Ich hoffe, es stimmt.

E habe ich hinbekommen! Big Laugh

Big Laugh

Bei F hab ich mir jetzt mal überlegt, wie das aussehen würde, wenn statt des >-Zeichens ein Gleichheitszeichen dastehen würde. Da entsteht ein Halbkreis im ersten und zweiten Quadranten, auf der x-Achse von -3 bis 3, die y-Achse wird am Punkt 0|3 geschnitten.

Gehe ich fehl in der Annahme, dass dann bei F die Menge außerhalb dieses Halbkreises gemeint ist? smile

smile

24.09.2014, 12:19

bijektion

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Ja.

Bei F könntest du auch einfach nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen smile

smile

24.09.2014, 12:25

törtchen22

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$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} > 9<br /> <br /> y^{2} > 9- x^{2} <br /> <br /> y <\sqrt{ 9- x^{2}} \end{eqnarray*}$

Habe ich das Verhältniszeichen richtig umgekehrt? verwirrt

verwirrt

24.09.2014, 12:31

bijektion

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Zitat:

Habe ich das Verhältniszeichen richtig umgekehrt? verwirrt

Nein... Nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst wäre es $\begin{eqnarray*} y>\sqrt{9-x^2} \end{eqnarray*}$ .

24.09.2014, 12:41

törtchen22

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Ah, ok. Dann ist jetzt alles klar! Ich bedanke mich für die nette Hilfe! Gott

Gott

smile

24.09.2014, 12:42

bijektion

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Okay, gut

smile

Gerne

Wink

1

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