Umformung von Polynom in Polynomring des Z3

24.09.2014, 14:59

mathekomplikator

Umformung von Polynom in Polynomring des Z3

Meine Frage:
Hallo,

unten ist ein Ausschnitt der Übungsaufgabe gepostet. Ich verstehe nicht wie man die Umformung von dem ersten Polynom auf das zweite macht. Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Vielen Dank

Meine Ideen:
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24.09.2014, 15:09

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ist ja bekanntlich $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Deswegen ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3[t] \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 3t \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} 0t = 0 \end{eqnarray*}$ . Addierst du also zu $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} 3t \end{eqnarray*}$ hinzu, veränderst du nichts. Das ist das erste, was hier passiert ist. Außerdem geht aus der Gleichheit aber noch hervor, dass offenbar $\begin{eqnarray*} bc = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Das gilt nun nicht so ohne weiteres. Ist irgendetwas näheres über $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ bekannt?

24.09.2014, 16:27

tmo

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Es muss eher $\begin{align*} bc=-1 \end{align*}$ gelten.

24.09.2014, 16:38

mathekomplikator_

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Hier ist der Rest der Aufgabe
Vielen dank guppi12 für die schnelle Antwort. Unten befinden sich die Fragestellung und die Musterlösung.

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24.09.2014, 16:46

tmo

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Das ist ein Druckfehler, links vom Gleichheitszeichen soll wohl $\begin{align*} 1-bc \end{align*}$ stehen und nicht $\begin{align*} 1bc \end{align*}$ . Und dann passt alles.

24.09.2014, 16:58

mathekomplikator_

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Dankeschön tmo,

stimmt das hatte ich gar nicht gemerkt. Trotzdem frage ich mich warum man das Polynom mit den negativen Koeffizienten in positive Koeffizienten umschreiben muss. Welchen Zweck hat das?

Außerdem hätte ich noch eine letzte Verständnisfrage zu dem Schritt in folgendem Bild. Mir ist klar das wegen der Mitternachtsformel, die zum Lösen des Eigenwerts benutzt wurde, man durch 2 teilen muss, jedoch verstehe ich nicht warum daraus dann Multiplikation mit 2 wird.

Vielen, vielen Dank

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24.09.2014, 20:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von mathekomplikator_
Trotzdem frage ich mich warum man das Polynom mit den negativen Koeffizienten in positive Koeffizienten umschreiben muss. Welchen Zweck hat das?

Weil man im Zahlenraum $\begin{align*} \{0,1,2\} \end{align*}$ rechnet. Negative Zahlen sind unnötig und ihre Verwendung inkonsequent.

Zitat:

Mir ist klar das wegen der Mitternachtsformel, die zum Lösen des Eigenwerts benutzt wurde, man durch 2 teilen muss, jedoch verstehe ich nicht warum daraus dann Multiplikation mit 2 wird.

[attach]35476[/attach]

Weil in $\begin{align*} \mathbb Z_3 \end{align*}$ die 2 zu sich selbst invers ist, denn $\begin{align*} 2\cdot 2 = 1\Rightarrow 2^{-1} = 2 \end{align*}$

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