Satz von Euler Beweis-Problem

24.09.2014, 15:11

Scusi92

Satz von Euler Beweis-Problem

Hallo, hab folgende Aufgabe vor mir liegen:

Sei m= $\begin{eqnarray*} p^{10} \end{eqnarray*}$ , wobei p eine Primzahl ist. Beweisen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a^{5p^{10}-5p^{9}+5 } \equiv a^{5} mod m \end{eqnarray*}$

Meine bisherige Lösung war:

ggt(a, m) = $\begin{eqnarray*} a^{min(0,1)}p^{min(0,10)}= a^{0}p^{0}= 1 \end{eqnarray*}$

-> Satz von Euler anwendbar:
$\begin{eqnarray*} \varphi(p^{10}) = p^{10} - p^{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{p^{10} - p^{9}} \equiv 1 (mod m) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{5} a^{p^{10} - p^{9}} \equiv a^{5} (mod m) \end{eqnarray*}$

Leider komme ich so ja immernochnicht auf die gesuchte Aussage.. vll kann mir jemand helfen WO denn der Fehler ist... Liebe Grüße & noch fröhliches Mathematieren... Augenzwinkern

24.09.2014, 15:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Scusi92
Meine bisherige Lösung war:

ggt(a, m) = $\begin{eqnarray*} a^{min(0,1)}p^{min(0,10)}= a^{0}p^{0}= 1 \end{eqnarray*}$

Falls a durch p teilbar ist, dann ist diese Zeile falsch - und der Fall ist nicht ausgeschlossen. unglücklich

Aber bleiben wir zunächst mal beim Fall $\begin{align*} p \nmid a \end{align*}$ :

Dann kannst du doch sofort $\begin{align*} a^{p^{10}-p^9}\equiv 1\bmod m \end{align*}$ zur fünften Potenz erheben

$\begin{align*} a^{5(p^{10}-p^9)}\equiv 1^5 = 1\bmod m \end{align*}$

und bist in diesem Fall (fast) fertig.

24.09.2014, 15:29

Scusi92

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Ahh..

Mir reichts heut schon.. Stimmt .. Augenzwinkern

Vielen Dank!!

Aber noch eine Frage: Falls a durch p teilbar ist ist der ggt ja a.. Dh, der Beweis mit euler und allgemein wäre dann eh hinfällig?

24.09.2014, 15:33

HAL 9000

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Nein, der ggT ist i.a. nicht gleich $\begin{align*} a \end{align*}$ . Man könnte erstmal Primfaktor(en) $\begin{align*} p \end{align*}$ von $\begin{align*} a \end{align*}$ abtrennen, d.h.

$\begin{align*} a = p^k b \end{align*}$ mit $\begin{align*} p\nmid b \end{align*}$ .

In dem Fall ist dann $\begin{align*} \operatorname{ggT}(a,m) = p^{\min(k,10)} \end{align*}$ .

EDIT: Ich sehe auch jetzt erst, dass die Behauptung falsch ist:

Gegenbeispiel $\begin{align*} p=2,a=2 \end{align*}$ ... R.I.P.

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