Ungleichung mit vollst. Induktion beweisen

24.09.2014, 15:47

antrax

Ungleichung mit vollst. Induktion beweisen

Hallo zusammen, Wink

brauche mal wieder eure Hilfe, ob diese Ungleichung korrekt bewiesen wurde.

Aufgabenstellung:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollst. Induktion folgende Aussage: $\begin{eqnarray*} 2^{ n }\geq n^{ 3 } \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq10 \end{eqnarray*}$

IA. für n=10 gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{ 10 }=1024\geq1000=10^{ 3 } \end{eqnarray*}$

IV. Es gilt für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2^{ n }\geq n^{ 3 } \end{eqnarray*}$

IS. n -> n+1. Setze in die Ungleichung ein: $\begin{eqnarray*} 2^{ n+1 }\geq(n+1)^{ 3 } \end{eqnarray*}$

(Meine Überlegung vorab: $\begin{eqnarray*} n^{ 3 }\geq n^{ 2 }+1\geq n^{ 2 }\geq n+1\geq n \end{eqnarray*}$ Damit meine ich, wie ich von "oben" nach "unten" komme. Hat nichts mit dem Beweis zu tun.

Beweis
$\begin{eqnarray*} 2^{ n+1 }=2*2^{ n }(IV\to)\geq 2*n^{ 3 }=n^{ 3 }+n^{ 3 }\geq n^{ 3 }+4n^{ 2 }\geq n^{ 3 }+3n^{ 2 }+n^{ 2 }\geq n^{ 3 }+3n^{ 2 }+3n+n\geq n^{ 3 }+3n^{ 2 }+3n+3\geq (n+1)^{ 3 } \end{eqnarray*}$ q.e.d.

für $\begin{eqnarray*} (n+1)^{ 3 } = n^{ 3 }+3n^{ 2 }+3n+1 \end{eqnarray*}$

Hoffe jemand kann mir bitte sagen, ob der Beweis so passt. Vielen dank!!

Gruß Chris

24.09.2014, 15:57

bijektion

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Das passt so Wink

24.09.2014, 15:58

klarsoweit

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RE: Ungleichung mit vollst. Induktion beweisen
Wobei zwischendrin Ungleichungen verwendet werden, die eigentlich zu beweisen sind. Zum Beispiel: n³ >= 4n² .

24.09.2014, 21:24

antrax

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Hallo,

sorry, dass ich jetzt erst anworte!

Danke für eure Antworten :-)

Zitat:

Zitat von bijektion
Das passt so

Super, danke Freude

Zitat:

klarsoweit
Wobei zwischendrin Ungleichungen verwendet werden, die eigentlich zu beweisen sind. Zum Beispiel: n³ >= 4n² .

Danke erstmal smile

Ist es denn notwendig, das auch zu beweisen, wenn wie beschrieben nur die Ungleichung es zu beweisen galt?
Eine andere Frage noch. Müsste ich dann auch die Ungleichung beweisen, wenn z.B. statt $\begin{eqnarray*} n^{3} \geq 4n^{2} +1 \end{eqnarray*}$ das stehen würde $\begin{eqnarray*} n^{3} \geq n^{2} +1 \end{eqnarray*}$ ??

Danke schon mal!! smile

Gruß Chris

24.09.2014, 21:28

bijektion

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Ich denke das hängt auch vom Niveau ab: wenn du ganz am Anfang bist, würde ich zumindest noch andeuten, warum diese Ungleichung gerade gilt.
Ob da aber jeweils eine komplette Induktion nötig ist, ist fraglich.

25.09.2014, 11:45

HAL 9000

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Wenn es etwas länglich wird, ist es manchmal zweckmäßig, Teile solcher Abschätzungen in Nebenrechnungen auszulagern. Z.B. könnte man hier in einer solchen Nebenrechnung

$\begin{align*} 2n^3-(n+1)^3 = n^3-3n^2-3n-1 = (n-4)(n^2+n+1)+3 \geq 3 > 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$

begründen, um an das im Induktionsschritt benötigte $\begin{align*} 2n^3 > (n+1)^3 \end{align*}$ zu kommen.

25.09.2014, 17:30

antrax

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Hallo zusammen,

vielen Dank für eure Antworten!! Freude

und sorry, dass ich mich erst jetzt melde!

Kann ich das dann so einfach abschätzen, wie du es vorgemacht hast und damit begründen?

Zitat:

Wenn es etwas länglich wird, ist es manchmal zweckmäßig, Teile solcher Abschätzungen in Nebenrechnungen auszulagern. Z.B. könnte man hier in einer solchen Nebenrechnung...

Ich weiss leider nicht, wie ich deine Formel zitieren kann verwirrt

Ich habe mich heute in der Pause mal an den Beweis gewagt, für $\begin{eqnarray*} n^{3} \geq 4n^{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$

Ich werde aber nicht den gesamten Ablauf darstellen nur kurze knappe Schritte:

IA: $\begin{eqnarray*} n^{3} =3^{3} =81\geq 36=4*3^{3} =4n^{2} \end{eqnarray*}$

IV: $\begin{eqnarray*} n^{3} \geq 4n^{2} \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{3} \geq 4(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1(IV.\Rightarrow) \geq 4n^{2}+3n^{2}+3n+1=7n^{2}+3n+1\geq 7n^{2}+n+1\geq 7n^{2}\geq 4n^{2}-q.e.d. \end{eqnarray*}$

Was meint ihr, ist das soweit OK??? verwirrt

Danke schon mal für eure Antworten und Anregungen Wink

Gruß Chris

25.09.2014, 17:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von antrax
Ich habe mich heute in der Pause mal an den Beweis gewagt, für $\begin{eqnarray*} n^{3} \geq 4n^{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$

Da diese Aussage für n=3 falsch ist, ist die Sache ziemlich schnell beendet: Es ist $\begin{align*} 3^3=27\neq 81 \end{align*}$ .

-----------------------------------------------------------------

Für $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ ist die Aussage richtíg, aber da müsste man mich schon mit Gewalt zwingen, die per vollständiger Induktion nachzuweisen. Dazu zitiere ich mal das gestrige

Zitat:

Original von Captain Kirk
falls in der Aufgabenstellung dabei steht, dass das unbedingt mit Induktion bewiesen werden soll, bitte schreib das hier dazu. (diese Aufgabe ist nicht sonderlich gut geeignet um Induktion zu üben)

aus einem deiner anderen Induktions-Threads - passt auch hier wie die Faust aufs Auge: Für $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ ist doch einfach

$\begin{align*} n^3 = n\cdot n^2 \geq 4\cdot n^2 \end{align*}$ ,

fertig.

25.09.2014, 17:47

antrax

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AHHHHHH

Zitat:

Da diese Aussage für n=3 falsch ist, ist die Sache ziemlich schnell beendet:...

Das gibt es ja nicht, was für ein Fehler!!!!! traurig

Danke Dir

, ich werde es noch einmal versuchen und mich später melden....
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ich übe noch, da mir die vollständige Induktion mit Ungleichungen noch sehr schwer fällt.

Auch wenn es so trivial aussieht aber ich habe gelernt, dass man beweisen nur durch ständiges beweisen lernt. Sind halt alles Erfahrungswerte, die ich noch nit habe.

Ich freue mich jedenfalls sehr, dass mein Beweis, nach deiner Kotrolle Freude

, natürlch für n >= 4 richtig ist.

Es werden bestimmt noch weitere Beweise von mir folgen und ich würde mich freuen, wenn ich durch eure Unterstützung immer besser werde smile

danke!!!

Gruß chris

Gruß Chris

26.09.2014, 10:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von antrax
Ich freue mich jedenfalls sehr, dass mein Beweis, nach deiner Kotrolle Freude

, natürlch für n >= 4 richtig ist.

Ziemlich voreilig, ich hatte oben das Anschauen deines Beweises beim Anblick des falschen Induktionsanfangs beendet.

Ok, ich sehe mir den Rest jetzt an: Du scheinst im Induktionsschritt die Behauptung $\begin{align*} (n+1)^3\geq 4n^2 \end{align*}$ nachzuweisen. Ein wenig befremdlich, da dort ja der Nachweis von $\begin{align*} (n+1)^3\geq 4(n+1)^2 \end{align*}$ fällig ist. verwirrt

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