Körperhomomorphismen

24.09.2014, 14:17	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperhomomorphismen Lemma: Sei L/K separable Körpererweiterung mit [L:K]=n; Dann existieren genau n injektive Körperhomomorphismen $\begin{eqnarray} \sigma : K \rightarrow \overline K \end{eqnarray}$ in einen algebraischen Abschluss von K. Ok soweit ist mir der Satz klar und es ist natürlich auch klar, dass das Wort injektiv sowieso immer erfüllt ist. Nun meine Frage wie bestimme ich denn am einfachsten die Homomorphismen. Sagen wir mal K sind die rationalen Zahlen und $\begin{eqnarray} L:= \mathbb{Q}(i) \end{eqnarray}$ . Dann haben wir $\begin{eqnarray} a+ib \mapsto a+ib \end{eqnarray}$ und dasselbe nochmal komplexkonjugiert. Manchmal habe ich aber das Problem, dass ich nicht genau weiß wie die Autoren darauf kommen, durch ausprobieren oder wat? Z.b. wenn man es net genau weiß wie kommt man dann bei $\begin{eqnarray} K= \mathbb{Q},\ L:= \mathbb{Q}(5^{1/3}) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a+5^{1/3}b \mapsto a+5^{1/3}b \end{eqnarray}$ (klar der reele Homomorphismus) und $\begin{eqnarray} a + 5^{1/3}b \mapsto a + (\zeta 5^{1/3})b, \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a + 5^{1/3}b \mapsto a + (\zeta^2 5^{1/3})b, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \zeta = \exp(2 \pi i / 3). \end{eqnarray}$ Gibt es da eine Art Algorythmus um sowas für alles Fälle auszurechnen?? Mich interesiert imho nur der Fall von Zahlkörpern, dass heißt der Satz vom primitiven Element gilt! Bitte um kurze Erläuterung für einen NIcht Algebraiker.
24.09.2014, 14:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dir den Beweis des Satzes anschaust, wirst du feststellen, dass die Körperhomomorphismen gerade dadurch gegeben sind, dass man einen Erzeuger der Körpererweiterung auf seine Konjugierten (die anderen Nullstellen des Minimalpolynoms) schickt. Das wäre dann auch schon der "Algorithmus".

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