Euler-Lagrange-Gleichung (Minimierungsaufgabe)

24.09.2014, 17:36	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Lagrange-Gleichung (Minimierungsaufgabe) Meine Frage: Angabe: Geben sie die Euler-Lagrange-Gleichung für das Problem $\begin{eqnarray} \int_1^2 \! (y^2+2y+6yy'+9y'^2) \, dx \Rightarrow min \end{eqnarray}$ an und finden Sie diejenige Kurve y(x) mit y(1)=1, y(2)=0, die das obige Integral minimiert. Hinweis: Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung der Form $\begin{eqnarray} y''- \lambda ^{2} y= 0 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y(x)= c_{1}e^{\lambda x} + c_{2}e^{-\lambda x} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Meine Ideen: Also ich fange mal an: Der Hinweis ist leicht zu zeigen, denn wenn ich als Ansatz $\begin{eqnarray} y(x)=e^{\alpha x} \end{eqnarray}$ wähle, komme ich auf $\begin{eqnarray} \lambda =\pm 1 \end{eqnarray}$ und somit auf die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung wie oben angegeben. Dann bin ich so vorgegangen, dass ich mit Hilfe folgender Gleichung mir das erste Integral der Euler-Lagrange-Gleichung ausgedrückt habe. $\begin{eqnarray} y'\frac{df}{dy'} -f=const. \end{eqnarray}$ . Das f in dieser Gleichung ist der Ausdruck im obigen Integral. Danach forme ich die Gleichung auf y' um. Hier bekomme ich $\begin{eqnarray} y'=\pm \sqrt{\frac{y^2+2y+c}{9} } \end{eqnarray}$ , wobei das c das const. ist. Nun wende ich die Methode Seperation der Variablen an um mir mein x auszudrücken und forme anschließend auf y(x) um. Hier bekomme ich: $\begin{eqnarray} x=3ln(\sqrt{y^2+2y+c}+y+1)+D \end{eqnarray}$ , wobei mein D die Integrationskonstante nach der Integration bei der Methode Seperation der Variablen ist und umgeformt auf $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{1}{2} (e^{\frac{D-x}{3} } +e^{\frac{x-D}{3} } + ce^{\frac{D-x}{3} } -2) \end{eqnarray}$ Nun mein Problem: Ich müsste doch auf die Konstanten kommen, indem ich in die Nebenbedienungen einsetze oder? Nur komme ich da irgendwie auf nichts brauchbares. Könnt ihr mir weiterhelfen? Muss ich mit der letztgenannten Gleichung weiterarbeiten oder liegt die Lösung in der homogenen Differentialgleichung? Die Lösung ist übrigens: $\begin{eqnarray} y(x)=c_{1} e^{\frac{-x}{3} } + c_{2} e^{\frac{x}{3} } -1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_{1} = e^{\frac{2}{3} } (\frac{2e^{\frac{1}{3} }-1 }{e^{\frac{2}{3} }-1 } ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{1} = e^{\frac{-1}{3} } (\frac{e^{\frac{1}{3} }-2 }{e^{\frac{2}{3} }-1 } ) \end{eqnarray}$

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