Parametrische Kurven in sphärischen/polarkoordinaten?

24.09.2014, 23:11

Vektorling

Parametrische Kurven in sphärischen/polarkoordinaten?

Hallo Mathelinge. Ich setzte mich grade mit sphärische Koordinaten auseinander. Aber wie stellt man denn parametrische Kurven in diesen Koordinaten dar? Für kartesische ist ja einfach, z.B. (2t, t^2), und wie in polar, oder sphärischen Koordinaten?

25.09.2014, 00:49

Stephan Kulla

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RE: Parametrische Kurven in sphärischen/polarkoordinaten?
Genauso. In Polarkoordinaten in der Ebene kannst du eine Kurve beschreiben über die Funktionen:

$\begin{eqnarray*} r(t) = \ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(t)=\ldots \end{eqnarray*}$

So beschreibt

$\begin{eqnarray*} r(t) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(t)=t \end{eqnarray*}$

eine Kreisbahn.

25.09.2014, 14:31

Vektorling

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Hi Stephan, ok wenn ich eine Einheitssphäre mit $\begin{eqnarray*} r(\phi, \theta)= (sin \phi cos \theta, sin \phi sin \theta, cos \phi) \end{eqnarray*}$ habe. Dann kann ich eine Kurve darauf beschreiben als $\begin{eqnarray*} (sin(t)cos(t), sin^{2}(t)), cos(t)) \end{eqnarray*}$ richtig? Und wie sieht jetzt diese Kurve aus? Wenn ich sie verändern will was mach ich dann? Einfach dann t variieren? Z.B. $\begin{eqnarray*} t=2t^{2} \end{eqnarray*}$ ? (mit neuem t jetzt)

LG

25.09.2014, 14:44

Stephan Kulla

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$\begin{eqnarray*} (sin(t)cos(t), sin^{2}(t), cos(t)) \end{eqnarray*}$ ist ja eine kurve in kartesischen koordinaten. Dieselbe Kurve in sphärischen Koordinaten lautet

$\begin{eqnarray*} (r(t), \theta(t), \phi(t)) = (1,t,t) \end{eqnarray*}$

Dies sollte eine Kreiskurve auf der Einheitskugel sein, wenn ich mich nicht täusche...

Zitat:

Wenn ich sie verändern will was mach ich dann? Einfach dann t variieren? Z.B. $\begin{eqnarray*} t=2t^{2} \end{eqnarray*}$ ? (mit neuem t jetzt)

ja, zum Beispiel kannst du $\begin{eqnarray*} t=2\tilde t^{2} \end{eqnarray*}$ setzen (wichtig, neue Variable einführen, weil $\begin{eqnarray*} t=2t^{2} \end{eqnarray*}$ macht kein Sinn!). Kommt aber darauf an: Wie willst du denn die Kurve verändern.

25.09.2014, 15:12

Vektorling

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Was, wieso ist das eine Kurve in kartesischen Koordinaten verwirrt

Wenn ich eine kurve in polarkoordinaten will (Kreis) dann parametrisiere ich das ja auch als (cos(t),sin(t))? Also eigentlich will ich einen parallelen Transport (ka ob du weiß was das ist) von einem Vektor auf der Kurve auf der Sphäre berechnen, aber ich muss noch mal ein paar Grundlagen wiederholen. Und in kartesischen Koordinaten macht das keinen Sinn weil da alles Flach ist. Kennst du vielleicht irgendeine Seite im Internet oder pdf wo das noch mal erklärt wird? (mit den Kurven auf Flächen)

25.09.2014, 15:20

Stephan Kulla

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Wenn du

$\begin{eqnarray*} (sin(t)cos(t), sin^{2}(t), cos(t)) \end{eqnarray*}$

schreibst, dann meinst du

$\begin{eqnarray*} x(t) = sin(t)cos(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = sin^{2}(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z(t) = cos(t) \end{eqnarray*}$

Du hast für die Kurve also die x,y und z-Koordinaten angegeben und damit die kartesischen Koordinaten. Willst du die Kurve in Polarkoordinaten angeben, musst du

$\begin{eqnarray*} r(t) = \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \theta(t) = \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(t) = \ldots \end{eqnarray*}$

schreiben (natürlich ist bei $\begin{eqnarray*} (sin(t)cos(t), sin^{2}(t), cos(t)) \end{eqnarray*}$ schnell ersichtlich, wie die Kurve in Polarkoordinaten aussieht...)

Zitat:

Kennst du vielleicht irgendeine Seite im Internet oder pdf wo das noch mal erklärt wird?

Leider nicht, ich kenne mich da selbst nicht aus. Aber vielleicht kann dir ja jemand anderes im Board weiterhelfen...

25.09.2014, 20:07

Vektorling

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Hallo, ok kurz ein Beispiel noch. Ich will den hyperbolischen Paraboloid $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{\alpha^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta^{2}}-2z=0 \end{eqnarray*}$ als Parametrisierung darstellen, das geht ja mit $\begin{eqnarray*} r(u,v)=(u,v, \frac{u²}{2\alpha^{2}}-\frac{v^{2}}{2\beta^{2}}) \end{eqnarray*}$ oder? Und wenn ich das jetzt in spherischen Koordinaten darstellen will, wie geht das dann?

Und dann noch eine Frage, wie hast du denn das in sphärische Koordinaten umgerechnet? Also (1,t,t) ok r=1 hab ich auch raus, aber für $\begin{eqnarray*} \theta (t) = arccos(cos(t)) \end{eqnarray*}$ kommt nicht t raus verwirrt

25.09.2014, 20:39

Stephan Kulla

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Zitat:

Und wenn ich das jetzt in spherischen Koordinaten darstellen will, wie geht das dann?

Das kann ich dir nicht sagen, das muss jemand anderes übernehmen...

Zitat:

aber für $\begin{eqnarray*} \theta (t) = arccos(cos(t)) \end{eqnarray*}$ kommt nicht t raus

Warum nicht? arccos ist die Umkehrfunktion von cos.

25.09.2014, 20:42

Stephan Kulla

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Die Umrechnung von Polar- in kartesischen Koordinaten geschieht über

$\begin{eqnarray*} (r \sin(\phi)cos(\theta), r\sin(\phi)sin(\theta), r \cos(\theta)) \end{eqnarray*}$

Wenn du dies mit

$\begin{eqnarray*} (sin(t)cos(t), sin^{2}(t), cos(t)) \end{eqnarray*}$

vergleichst, siehst du schnell, wie r(t), $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta(t) \end{eqnarray*}$ definiert sein müssen.

26.09.2014, 00:47

Vektorling

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Hallo, naja ok. Vielen Dank für die Hilfe. Byebye Wink

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