Laurentkoeffizienten bestimmen

25.09.2014, 20:44

TomTomTom1234567

Laurentkoeffizienten bestimmen

Meine Frage:
Hi Leute,
Beim Ausrechnen der Laurentkoeffizienten für folgende Aufgabe bin ich überhaupt nicht zurechtgekommen:
Bestimmme den Koeffizienten a_(-4) der "Laurentexpansion" im Bereich 0<|z|<1 wobei f(z)=e^(1/z)/(1-z)

Mir ist klar, dass
a_-4= 1/(2pi*i) * KontourIntegral e^(1/z)/(1-z) * z^3 bestimmen lässt, aber ich weiß nicht wie man es ausrechnet.

Meine Ideen:

Ich weiß, dass 1/(1-z) = Summe von 0 bis unendlich von z^k ist sprich die geometrische Reihe.
und ich glaube e^(1/z) kann umgeschrieben werden als
Summe von 0 bis unendlich von 1/k! * (1/z^k) (wäre hier das vierte Glied a_-4 1/4! für die Laurentreihe?)

Wie gehe ich damit um? Ich weiß nicht wie ich dieses Produkt integieren soll. Und was ich die Reihe anders entwickle wenn beispielsweise |z|>1 hier gelten sollte.

26.09.2014, 09:55

derdickederbande

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Laurentkoeffizienten bestimmen
Hallo,
in den seltensten Fällen wirst du in einer Aufgabe einen Koeffizienten der Laurent- oder auch Taylorentwicklung über die Auswertung eines Kurvenintegrals bestimmen können.
Fast immer ist es geraten, sich auf bekannte Reihenentwicklungen und ein paar Kniffe zurück zu ziehen.

In deinem Fall könnte man folgendes machen:

Gesucht ist der 4te Koeffizient in der Laurententwicklung der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(z)=e^{\frac{1}{z}}\cdot(1-z)^{-1} \end{eqnarray*}$
Nicht?
Als Tipp:
Es gilt
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{n!}z^{-n}} \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} (1-z)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty{z^k} \end{eqnarray*}$ .
und damit
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {\frac{1}{n!}z^{k-n}} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du diese Summanden nur noch geeignet sortiern

30.09.2014, 22:23

TomTomTom1234567

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Laurentkoeffizienten bestimmen

Zitat:

Original von derdickederbande
Hallo,
in den seltensten Fällen wirst du in einer Aufgabe einen Koeffizienten der Laurent- oder auch Taylorentwicklung über die Auswertung eines Kurvenintegrals bestimmen können.
Fast immer ist es geraten, sich auf bekannte Reihenentwicklungen und ein paar Kniffe zurück zu ziehen.

In deinem Fall könnte man folgendes machen:

Gesucht ist der 4te Koeffizient in der Laurententwicklung der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(z)=e^{\frac{1}{z}}\cdot(1-z)^{-1} \end{eqnarray*}$
Nicht?
Als Tipp:
Es gilt
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{n!}z^{-n}} \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} (1-z)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty{z^k} \end{eqnarray*}$ .
und damit
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {\frac{1}{n!}z^{k-n}} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du diese Summanden nur noch geeignet sortiern

Von der geometrischen Reihe und der Reihe für e ergeben z^-4 und z^0 der anderen Reihe zusammen die Potenz -4, sowie z^-5 und z^1, z^-6 & z^2 usw.
Multipliziert man dann die Koeffizienten dieser z, erhält man für den Vorfaktor für a_-4 eine unendliche Reihe, nämlich
$\begin{eqnarray*} sum_{k=4}^\infty{\frac{1}{k!}}=e^{1}-(1/0!+1/1!+1/2!+1/3!) \end{eqnarray*}$
Stimmt, oder?

02.10.2014, 16:26

derdickederbande

Auf diesen Beitrag antworten »

jepp. Hab ich auch raus.

Neue Frage »

Antworten »

Laurentkoeffizienten bestimmen

Verwandte Themen