Abstand zweier Autos (Optimierungsproblem)

25.09.2014, 21:42	SunnySmile1	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zweier Autos (Optimierungsproblem) Meine Frage: Hallo, folgende Mammutaufgabe habe ich zu lösen: Der Abstand $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ (Gemessen zwischen den vorderen Stoßstangen), die mit der gleichen Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ hintereinander fahren, setzt sich additiv zusammen aus einem von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ unabhängigen $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ , einem Sicherheitsabstand $\begin{eqnarray} bv \end{eqnarray}$ für den Reaktionsweg und einem Sicherheitsabstand $\begin{eqnarray} \frac{v^2}{2a} \end{eqnarray}$ für den Bremsweg. a) Stellen Sie die Formel für die Durchflussrate (Anzahl der durchfahrenden Autos pro Zeiteinheit) $\begin{eqnarray} r(v)=\frac{v}{s(v)} \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit auf. b)Bei welcher Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ergibt sich die optimale Durchflussrate, das Staurisiko am eringsten? Wie groß ist dann die Durchflussrate? Zeigen sie anhand der zweiten Ableitung, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (d,b und a sind positiv c) Hat die Durchflussrate ein Maximum, wenn der Abstand ein Minimum hat? Warum? Meine Ideen: Habe ich mich bis jetzt nur mit a) beschäftigt und bin zu der Formel $\begin{eqnarray} s(v)=\frac{v^2}{2a}+bv+d \end{eqnarray}$ gekommen, dementsprechend müsste die Durchflussrate so ausschauen: $\begin{eqnarray} r(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+bv+d} \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt? lg
25.09.2014, 23:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist bis jetzt in Ordnung so weit. Der Term für r(v) sollte noch frei vom Doppelbruch gemacht werden, was bekommst du dann? mY+
25.09.2014, 23:48	SunnySmile1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \frac{2av}{2abv+2ad+v^2} \end{eqnarray}$ Damit hätte ich jetzt a) für b) muss ich ja nun Extremwerte ausrechnen. Muss ich da in Abhängigkeit zu a,b und d machen? Weil ich auch sonst keine Idee habe wie ich da groß umschreiben soll..
26.09.2014, 00:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a, b und d sind positive (!) Konstanten (Beschleunigung, Abstand, Reaktionszeit), also hast du nur noch nach der Variablen v abzuleiten! Es geht ja auch schon aus der Angabe hervor, dass es sich um eine Funktion "r von v" --> r(v) handelt. Übrigens solltest du dann bei richtiger Rechnung $\begin{eqnarray} v = \sqrt{2ad} \end{eqnarray}$ erhalten. mY+

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