Integral auflösen

26.09.2014, 04:56

cecen31

Integral auflösen

Meine Frage:
Ich habe folgendes Integral aufgelöst aber komme mit dem Taschenrechner auf ein anderes Ergebnis

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x^{4}+2x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\int_a^b \! \, x^{4} + 2 \int_a^b \! x^{2} }{2*\sqrt{x^{4}+2x^2+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4x^{3}+4x}{2*\sqrt{x^{4}+2x²+1} }\right]_{\sqrt{-2}}^{\sqrt{2}} = 5,66 \end{eqnarray*}$

wenn ich das aufgelöste Integral in meinen Taschenrechner eingebe kriege ich 5,66 raus doch wenn ich das Integral mit dem Taschenrechner auflöse kriege ich 4,71 raus habe ich irgendwo etwas falsch gemacht?

26.09.2014, 05:09

Dopap

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ziemlich abenteuerlich !

Und was sind die Grenzen ? $\begin{align*} \sqrt {-2} \end{align*}$ taugt ja nicht wirklich als Grenze.

26.09.2014, 17:15

cecen31

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doch als Grenzen habe ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$ habe ich beim Integrieren irgendwo einen Fehler gemacht?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2* \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}} * \int_a^b \! {x^{4}+2x^{2}+1} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\int_a^b \! x^{4} + 2 \int_a^b \! x^{2}}{{2* \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^{3}+4x}{{2* \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4x^{3}+4x}{{2* \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}}}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 5,66 \end{eqnarray*}$

so habe versucht bisschen ausführlicher zu schreiben ich wüsste nicht wo ich einen Fehler gemacht habe verwirrt

26.09.2014, 17:30

Bürgi

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Guten Tag,
ich kann Deinen Rechenweg leider nicht nachvollziehen... verwirrt

Aaaaaber:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x^{4}+2x^2+1} \, dx = \int \limits _a^b \sqrt{(x^2+1)^2} dx= \int \limits _a^b |x^2+1|dx \end{eqnarray*}$

... und jetzt Du!

EDIT: Tippfehler besetigt.

26.09.2014, 17:45

thk

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Zitat:

Original von Bürgi
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x^{4}+2x{\color{red}^2}+1} \, dx = \int \limits _a^b \sqrt{(x^2+1)^2} dx= \int \limits _a^b |x^2+1|dx \end{eqnarray*}$

Womöglich meint der FS diese Funktion. Und tschüss

26.09.2014, 17:48

Bürgi

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Hallo,

danke für den Hinweis, hatte ich glatt übersehen, aber schließlich hat der FS in seinem 2. Beitrag genau diesen Term benutzt.

26.09.2014, 17:59

Dopap

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der Fragesteller sollte auch den Hintergrund des Integrals erläutern. Das

"... habe ich als Grenze herausbekommen ... "

lässt dies vermuten.

26.09.2014, 19:27

cecen31

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eine Kurve ist gegeben durch 2 Gleichungen und durch g:x=2 geschnitten
man solle die Bogenlänge der Kurve k zwischen diesen beiden Schnittpunkten berechnen

$\begin{eqnarray*} x(t) = t^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)= \frac{1}{3}t(3-t^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x' = 2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 1-t^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: x=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2= t^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = t1 (b) Grenze \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} = t2 (a) Grenze \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\sqrt{({2t})^{2} + (1-t^{2})^{2} }) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\sqrt{t^{4}+2t^{2}+1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4t^{3} + 4t}{2*\sqrt{t^{4}+2t^{2}+1} } \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

so ich habe jetzt die komplette Aufgabe hoffe dieses Mal fehlerfrei geschrieben

26.09.2014, 20:15

Dopap

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} {\color{red}L}=\int_a^b \! (\sqrt{t^{4}+2t^{2}+1} {\color{red}dt} ) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4t^{3} + 4t}{2*\sqrt{t^{4}+2t^{2}+1} } \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

deine Stammfunktion ist nicht nachzuvollziehen ! deren Ableitung ist =2, kann also nicht stimmen.

die Vereinfachung $\begin{align*} \sqrt{t^{4}+2t^{2}+1}=t^2+1 \end{align*}$ wurde doch schon vorgestellt.

27.09.2014, 01:18

cecen31

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Ich hatte dieses Integral eigentlich aus einer Integraltafel. Ich habe jetzt aber endlich das richtige Ergebnis raus danke Freude

Gibt es einen Trick zur Vereinfachung solche Gleichungen wie
$\begin{eqnarray*} \sqrt{t^{4}+2t^{2}+1} = \sqrt{(t^{2}+1)^{2}} = (t^{2}+1) \end{eqnarray*}$
denn mit dem bloßen Auge hätte ich es nicht erkannt.

27.09.2014, 03:51

Dopap

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da hast du sicher die Integraltafel falsch interpretiert.
Ansonsten: Übung, und immer an die binomischen Formeln denken Wink

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