Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen

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26.09.2014, 14:17	Kletterrose	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Problem mit der Berechnung von trigonometrischen Gleichungen wo in der Aufgabe bestimmte Grenzen angegeben sind. z.b. sin(3x)=-0,5 In den Grenzen (0 bis 2pi) Ich komme soweit, dass ich die beiden Basiswerte ausrechne, aber dann weiß ich nicht mit was ich addieren muss, damit ich auch auf die anderen im Intervall liegenden Werte komme. Meine Ideen: Also erstmal Substitution: sin(y)=-0,5 dann mit TR ausrechnen y1= -0,523 y2= pi - (-0,523) = 3,665 Dann rücksubstituieren: -0,523=3x x1=-0,174 3,665=3x x2= 1,222 so jetzt muss ich aber noch die anderen Lösungen finden und da weiß ich nicht weiter, bei sin(x) wird ja dann mit 2kpi addiert und hier?
26.09.2014, 14:24	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen Wenn du den Einheitskreis betrachtest, siehst du dass, der sin bei 210° und 330° ist, als bei (7/6)pi und (11/6)pi , den Wert -0,5 hat.
26.09.2014, 14:28	Kletterrose	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen also ist meine bisherige Rechnung falsch?
26.09.2014, 14:53	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen Deine Ergebnisse sind ebenfalls richtig. Die Schreibweise mit negativen Zahlen ist wohl weniger üblich. Ich bin es gewohnt, "in pi zu denken" und die Lösung entsprechend anzugeben. Ebenso liest man Winkel meist gegen den Uhrzeigersinn ab. -0,5 (Bogenmaß im Uhrzeigersinn ) =-30° ( Gradmaß im Uhrzeigersinn) =330° (Gradmaß gegen den Uhrzeigersinn)
26.09.2014, 14:58	Kletterrose	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen ok, aber eigentlich müsste ich doch 6 Ergebnisse rausgekommen,oder? Ich hab die Funktion mal zeichnen lassen und die hat 6 Schnittpunkte mit y=-0,5 (in den Grenzen 0 bis 2pi) Wie bekomme ich also die anderen? und wenn ich deine Brüche ausrechne komme ich aber nicht auf meine Werte
26.09.2014, 15:06	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungen in bestimmten Grenzen bestimmen Du musst meine Werte ja auch noch durch 3 teilen, damit sie das richtige Argument des sin ergeben. Im Bereich von 0 bis 2pi, also 0° bis 360° gibt es nur 2 Stellen, an denen der sin den Wert -0,5 hat. Wie kommst du also auf 6 Ergebnisse ? Weitere Stellen ergeben sich erst wieder außerhalb des genannten Intervalls.
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26.09.2014, 15:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} x \end{align}$ -Lösungen im Intervall $\begin{align} [0,2\pi] \end{align}$ entsprechen den $\begin{align} 3x \end{align}$ -Lösungen im Intervall $\begin{align} [0,6\pi] \end{align}$ , und davon gibt es in der Tat genau sechs.
26.09.2014, 15:19	Kletterrose	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich die Sinuskurve von sin (3x) im Bereich 0 bis 2 pi anschaue, dann gibt es doch 6 Schnittpunkte mit der Funktion F(x)=-0,5 und ich dachte, die x werte dieser Schnittpunkte sind dann die Lösungen.
26.09.2014, 17:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, entweder war ich noch nicht deutlich genug, oder du hast meinen Beitrag völlig ignoriert - ich nehme letzteres an. Also mal von vorn: Es ist richtig, dass es zwei $\begin{align} 3x \end{align}$ -Basislösungen von $\begin{align} \sin(3x)=-0.5 \end{align}$ im Intervall $\begin{align} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right] \end{align}$ gibt: a) $\begin{align} 3x = \arcsin(-0.5) = -\frac{\pi}{6} \end{align}$ b) $\begin{align} 3x = \pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{7\pi}{6} \end{align}$ . Alle weiteren reellen Lösungen ergeben sich durch die $\begin{align} 2\pi \end{align}$ -Periodizität des Sinus, d.h., wenn man das dann mit einbaut: a) $\begin{align} 3x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{align}$ mit $\begin{align} k\in\mathbb{Z} \end{align}$ b) $\begin{align} 3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \end{align}$ mit $\begin{align} k\in\mathbb{Z} \end{align}$ Und nach Division durch 3: a) $\begin{align} x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2k}{3}\pi \end{align}$ mit $\begin{align} k\in\mathbb{Z} \end{align}$ b) $\begin{align} x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k}{3}\pi \end{align}$ mit $\begin{align} k\in\mathbb{Z} \end{align}$ Und dann musst du schauen, für welche ganzzahligen $\begin{align} k \end{align}$ diese Lösungen im Intervall $\begin{align} [0,2\pi] \end{align}$ liegen - und das sind in der Tat insgesamt sechs (jeweils drei Werte für a) und b)).
27.09.2014, 08:10	Kletterrose	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. Ich muss also bevor ich das Ganze rücksubstituiere immer mit 2kpi addieren, richtig?
29.09.2014, 09:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre in etwa die Kurzform, ja.

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