Rampe modellieren

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Rampe modellieren
Hallo zusammen,

ich soll in dieser Aufgabe eine Auffahrt modellieren. Die Aufgabenstellung lautet:

Gegeben sind der Punkt A(0|0) und der Punkt B(4|1). Die Steigung soll sich stetig ändern und die Übergänge an den stellen xa und xb sollen versatzfrei und knickfrei sein. Außerdem der Hinweis, man brauche 4 Bedingungen. Außerdem ist bekannt, dass man sich im Bereich ganzrationaler Funktionen bewegen soll.

Ich bin einfach wie folgt vorgegangen, da man an Hand der Vorgaben nur auf eine ganzrationale Funktion 3. Grades kommen kann (4 Bedingungen = 4 Unbekannte = 3. Grad:
allgemein gilt:





1. Bed. f(0) = 0
2. Bed. f(4) = 1
3. Bed. f'(0) = 0
4. Bed. f'(4) = 0

Dann habe ich das daraus resultierende LGS gelöst und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:



Verschiedene Proberechnungen zeigen auch, dass dies das richtige Ergebnis sein muss. Man kann das auch in GeoGebra sehen:
[attach]35506[/attach]

So weit so gut ....

Mein Problem ist jetzt, dass nun noch eine Erweiterung vorgenommen werden soll. Und zwar, soll außer den genannten Bedinungen jetzt auch noch die Auffahrt frei von Krümmungsrucken sein. Da steht jetzt, die Auffahrt soll versatzfrei, knichfrei und frei von Kümmungsrucken sein und die 2. Ableitung soll sich stetig ändern. Außerdem ist der Hinweis gegen, dass 6 Bedingungen benötigt werden.

Mit ist zwar schon klar, dass es auf eine ganzrationale Funktion 5. Grades hinauslaufen wird. Aber so richtig weiß ich doch nicht wie ich das machen soll. Grundsätzlich würde ich wieder so anfangen:

allgemein gilt:






1. Bed. f(0) = 0
2. Bed. f(4) = 1
3. Bed. f'(0) = 0
4. Bed. f'(4) = 0
5. Bed. ???
6. Bed. ???

Wenn ich wüsste was mit "frei von Krümmungsrucken" gemeint ist, dann könnte ich vielleicht die beiden fehlenden Bedingungen finden. Habt ihr vielleicht eine Ahnung, was die damit meinen?

Gruß, Asca
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rampe modellieren
Guten Tag,
Zitat:
und frei von Kümmungsrucken sein

bedeutet nichts anderes, als dass der Graph links und rechts der Anschlussstelle dieselbe Krümmung aufweisen soll, d.h., an dieser Stelle müssen die 2. Ableitungen übereinstimmen.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok. Dann also so? ...



Und dann ist das die 5. Bedinung?


Dann sieht das bis jetzt so aus:

1. Bed. f(0) = 0 => f = 0
2. Bed. f(4) = 1 => e = 0
3. Bed. f'(0) = 0
4. Bed. f'(4) = 0
5. Bed. f''(0) = f''(4) => 0 = 20a 4^3 + 12b 4^2 + 6c 4
6. Bed. ???

Mit f = 0 und e = 0 habe ich aber immer noch vier Unbekannte und nur drei Gleichungen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
Ja ok. Dann also so? ...


Das mit der Krümmung hast du noch nicht richtig verstanden. An der Stelle x=0 soll die Krümmung den gleichen Wert haben wie vorher, also links der Stelle x=0. Analoges gilt für die Stelle x=4.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das mit der Krümmung hast du noch nicht richtig verstanden. An der Stelle x=0 soll die Krümmung den gleichen Wert haben wie vorher, also links der Stelle x=0. Analoges gilt für die Stelle x=4.


Was willst du damit sagen? Woher soll ich denn wissen, wie weit links/rechts von x=0 ich die Krümmung annehmen muss? 0,0001 oder 0, 000000001 ? das steht da nicht. Wie muss man da vorgehen?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,
bevor wir hier sehr geläufig an einander vorbeireden, möchte ich gern den vollständigen, unveränderten Aufgabentext sehen.

  • Du gehst davon aus, dass die gegebenen Punkte Extrempunkte sind - wieso?
  • Du sprichst von Anschlussstellen - was wird angeschlossen?
  • Du möchtest den Verlauf einer Auffahrt bestimmen - Auffahrt auf was?


Du siehst, durch Deine Andeutungen machst Du es uns ziemlich schwer zu verstehen, was genau Du eigentlich berechnen willst.
 
 
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bürgi
  • 1. Du gehst davon aus, dass die gegebenen Punkte Extrempunkte sind - wieso?
  • 2. Du sprichst von Anschlussstellen - was wird angeschlossen?
  • 3. Du möchtest den Verlauf einer Auffahrt bestimmen - Auffahrt auf was?


1. Es ist doch eingangs klar formuliert worden. Die Strasse geht waagerecht (m = 0) vom Punkt A aus und soll im Punkt B mit m = 0 enden, und das vollkommen knick und versatzfrei. Also müssen das Extrempunkte sein. Sattelpunkte weisen zwar auch m = 0 auf, aber im Punkt A und B Sattelpunkte anzunehmen, wäre wohl ein bisschen sinnlos oder? (Schau dir die Zeichnung an. Das ist die richtige Funktion 3. Grades - aber noch ohne Krümmungsruckfreiheit)

2. Die Anschlussstellen sind Punkt A und B. (kannst du auch in der Zeichnung sehen).

3. Es ist die Auffahrt von Punkt A nach Punkt B zu bestimmen, was im Bild die Funktion 3. Grades schon richtig darstellt. Jetzt soll einfach noch eine Funktion gefunden werden, wahrscheinlich 5. Grades, die, zu den bereits definierten Bedingungen der Funktion 3. Grades, auch noch krümmungsruckfrei an den Übergängen A und B sein soll.

Ich glaube es ist so: Da die Strasse in den Punkt A hinein ja als Waagerechte angenommen wird. Wird sehr wahrscheinlich die Krümmung dieser Geraden wohl = 0 sein Augenzwinkern . Außerdem soll die Strasse vom Punkt B aus waagerecht weiter verlaufen. Auch hier wird wohl die Krümmung dann 0 sein (weil es ja eine Waagerechte ist). Das heißt doch, dass die zweite Ableitung an der stelle x=0 und an der Stelle x=4 auf jeden Fall 0 sein muss, oder?

Was ich an der Sache aber ein bisschen merkwürdig finde, ist, dass, wenn wir im Punkt A und B ohnehin schon waagerechte Tangenten haben, dann dürften die Punkte doch auch keine Krümmung aufweisen??? ... irgendwie merkwürdig. Verstehe ich nicht so ganz. Ich versuche trotzdem mal mit f''(0) = 0 und f''(4) = 0 das LGS zu lösen.

Gruß, Asca

PS: Was mir grad auffällt: Wenn die ersten und die zweiten Ableitungen jeweils 0 sein müssten, dann wären das ja 2 Sattelpunkte für A und B. ???
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs jetzt. Es ist tatsächlich ganz einfach. Die Bedingungen lauten wie folgt:

1. f(0) = 0
2. f(4) = 1
3. f'(0) = 0
4. f'(4) = 0
5. f''(0) = 0
6. f''(4) = 0

Damit ist:


[attach]35529[/attach]

(Packt die Spaten aus ... kann gebaut werden Augenzwinkern )

Gruß, Asca

PS: Und es sind tatsächlich 2 Sattelpunkte in Punkt A und Punkt B.
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