Grenzwertbestimmung Fallunterscheidung

26.09.2014, 21:19

Hosenschlange

Grenzwertbestimmung Fallunterscheidung

Meine Frage:
In einer Übungsaufgabe zum Thema Mathematik, Grenzwerte wurde wie folgt nach dem Limes gefragt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^{2} + an +1} - \sqrt{n^{2} + 1} \right) \end{eqnarray*}$
Ich bin nur leider mit dem "a" noch etwas im Unklaren...

Meine Ideen:
Nach den Limes-Gesetzen bildet sich bei einer Subtraktion der Gesamt-Limes aus dem Limes vom Minuend (hier: m) und Limes vom Subtrahend (hier: s). Demzufolge, ohne lim u. dgl, ...
$\begin{eqnarray*} s: \sqrt{n^{2} + 1} = \sqrt{n^{2}*\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right) } = n \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}} \end{eqnarray*}$
Geht n hierbei nach unendlich, so geht dieser Teil der Subtraktion ebenso nach unendlich.

Außerdem ist da noch...
$\begin{eqnarray*} m: \sqrt{n^{2}+an+1} = \sqrt{n^{2}*\left(1+\frac{a}{n}+\frac{1}{n^{2}} \right) } = n \sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich versucht, Folgendes anzunehmen:
für $\begin{eqnarray*} | a | < n \end{eqnarray*}$ geht alles gegen Null, weil der Teil unter der Wurzel gegen Eins geht.
Wenn aber $\begin{eqnarray*} | a | \geq n \end{eqnarray*}$ , dann geht das gegen Unendlich oder rund 0,4.

Allerdings bin ich hier noch nicht von mir selbst überzeugt...

26.09.2014, 21:26

Mulder

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RE: Grenzwertbestimmung Fallunterscheidung

Zitat:

Original von Hosenschlange
Jetzt bin ich versucht, Folgendes anzunehmen:
für $\begin{eqnarray*} | a | < n \end{eqnarray*}$ geht alles gegen Null, weil der Teil unter der Wurzel gegen Eins geht.
Wenn aber $\begin{eqnarray*} | a | \geq n \end{eqnarray*}$ , dann geht das gegen Unendlich oder rund 0,4.

Also da sind deine Zweifel durchaus gerechtfertigt.

Solche Abschätzungen sind hier doch gar nicht möglich. a ist ein fester, wenn auch beliebiger Parameter (damit auch insbesondere beschränkt), n hingegen ist der Index der Folge. Den kann man doch nicht gegen eine feste Zahl abschätzen. Weil n selbst keine feste Zahl ist.

Es ist auch völlig überflüssig, hier in irgendeiner Form eine Fallunterscheidung durchzuführen. Lass das a so, wie es ist, und berechne den Grenzwert, so er existiert.

26.09.2014, 21:31

Hosenschlange

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Dann würde ich mich hier auch für Null entscheiden; ich weiß nur, nicht genau wieso. Und das =a= muss doch auch eine Rolle spielen...

26.09.2014, 21:34

Mulder

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Sicher spielt das a eine Rolle. Der Grenzwert ist auch nicht 0.

Aber du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ vorliegen, wenn man n gegen unendlich laufen lässt - so ohne weiteres ist also erstmal keine Aussage möglich.

Das heißt, du musst erstmal geeignet umformen. Du kannst passend erweitern und dann mit der dritten binomischen Formel arbeiten. Ist ein Standardtrick bei diesen Wurzeldifferenzen.

Zitat:

Nach den Limes-Gesetzen bildet sich bei einer Subtraktion der Gesamt-Limes aus dem Limes vom Minuend (hier: m) und Limes vom Subtrahend (hier: s).

Vorsicht mit solchen Aussagen. Diese Gesetze gelten nur, wenn beide Grenzwerte überhaupt existieren. Das ist nicht der Fall. Die Folge als Ganzes konvergiert aber trotzdem.

26.09.2014, 21:35

Hosenschlange

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Zuerst: Im letzten Post kommt nach "nur" kein Komma!

Der Gedanke zur Null ergibt sich für das Ganze. m geht m. E. auch gegen Unendlich.

26.09.2014, 21:38

Hosenschlange

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Schweinerei... dann nochmal zurück ans Reißbrett

26.09.2014, 23:27

Hosenschlange

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Nach der dritten BF hab ich wie folgt gearbeitet (ich bleibe im Folgenden bei m und s für die einzelnen Bestandteile):

Den geklammerten Term aus dem ersten Post habe ich nun mit (m + s) multipliziert. Dadurch erhielt ich
(sqrt(n² + an + 1) - sqrt(n² + 1)) * (sqrt(n² + an + 1) + sqrt(n² + 1))

Nach dem Ausrechnen und Vereinfachen blieb am Ende noch an übrig. Das erscheint mir allerdings gar so einfach verwirrt

27.09.2014, 00:03

Mulder

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Es war ja von "Erweitern" die Rede. Bruchrechnung und so. Es liegt hier eigentlich kein Bruch vor, aber kann man sich ja leicht herstellen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^{2} + an +1} - \sqrt{n^{2} + 1}}{1} \end{eqnarray*}$

Und diesen Bruch erweiterst du jetzt mit deinem "m+s".

Was du jetzt gemacht ist, ist so natürlich nicht zielführend. Du hast einfach den Term "m+s" hintendran geklatscht, aber damit hast du ja jetzt eine ganz andere Folge vorliegen. Das darfst du natürlich nicht. Aber wenn du erweiterst - diesen Term also in Zähler und Nenner hinzufügst - veränderst du nichts und das ist dann legitim. Der Zähler vereinfacht sich, wie du schon festgestellt hast, zu an. Schau dir dann jetzt noch den Nenner an und du kannst den Grenzwert durch Kürzen ermitteln.

27.09.2014, 13:22

Hosenschlange

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Irgendwie stehe ich voll auf meinem Schlauch... Im Zähler steht (an), im Nenner habe ich "m+s", dieser schräge Wurzelterm. Wenn ich im Nenner nun n^2 aus den Wurzeln ziehe, kann ich das n kürzen, so dass im Zähler nur das a bleibt. Aus ungenannten unseligen Gründen will das a aber nicht aus der Wurzel im Nenner raus geschockt

27.09.2014, 13:32

Mulder

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Zitat:

Original von Hosenschlange
Aus ungenannten unseligen Gründen will das a aber nicht aus der Wurzel im Nenner raus

Muss es doch auch gar nicht. Das n² im Nenner aus den Wurzeln zu ziehen ist völlig richtig. Jetzt schau dir mal genau an, was dann noch unter den Wurzeln verbleibt. Was passiert dort, wenn man n jetzt gegen unendlich laufen lässt?

Du bist zu 99% fertig.

27.09.2014, 13:52

Hosenschlange

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Insgesamt bleibt, nach der Extraktion von n² und dem Kürzen
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}} \end{eqnarray*}$

Wenn hier n gegen Unendlich geht, wird der Wert der zweiten Wurzel "1". Unter der ersten Wurzel bleibt
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{a}{n}; n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Und hier wird für mich der Hase im Pfeffer verrückt, weil doch alles in allem der Grenzwert in Abhängigkeit von a besteht.

27.09.2014, 14:18

Mulder

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Es ist doch vollkommen egal, was a ist, der Term a/n geht auf jeden Fall gegen 0. Weil n über alle Grenzen wächst, a jedoch nicht, weil a ein fester Wert ist. a steht für irgendeine feste Zahl, die hier nicht näher festgelegt wurde. Wenn da statt a eine 5 stehen würde, hättest du doch auch keine Probleme. Jetzt steht da halt nicht 5, sondern a. Macht nichts.

27.09.2014, 14:23

Hosenschlange

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Dann hatte ich wohl den Denkfehler, dass auch der Fall a > n eine Rolle spielt. Letzten Endes bleibt dann also, da das anscheinend nicht der Fall ist, als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

27.09.2014, 14:32

Mulder

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Zitat:

Original von Hosenschlange
Dann hatte ich wohl den Denkfehler, dass auch der Fall a > n eine Rolle spielt.

Das Problem ist, dass du hier eine feste Zahl mit dem Folgenindex in eine Relation stellst, die aber gar nicht existiert. Weil das verschiedene Objekte sind. Auch a<n würde einfach keinen Sinn ergeben. Das ist in etwa so sinnvoll wie

$\begin{eqnarray*} a > \text{Rasierapperat} \end{eqnarray*}$

Was hier vorliegt, ist sogesehen eine Menge, bzw. eine "Schar" von Folgen, ganz ähnlich den Funktionenscharen, die du in der Schule kennengelernt haben müsstest.

Wenn man exemplarisch mal a=5 setzt, dann hat man die Folge

$\begin{eqnarray*} b_n= \left(\sqrt{n^{2} + 5n +1} - \sqrt{n^{2} + 1} \right) \end{eqnarray*}$

und käme auf den Grenzwert 5/2.

Man kann auch a=1000000 setzen, dann hat man die Folge

$\begin{eqnarray*} b_n= \left(\sqrt{n^{2} + 1000000n +1} - \sqrt{n^{2} + 1} \right) \end{eqnarray*}$

Und den Grenzwert 1000000/2.

Lässt man das a so stehen, hat man die Folge

$\begin{eqnarray*} b_n= \left(\sqrt{n^{2} + an +1} - \sqrt{n^{2} + 1} \right) \end{eqnarray*}$

und den Grenzwert a/2 (das ist richtig, ja).

Man kann a so groß setzen, wie man will, es bleibt ein fester (und damit beschränkter) Wert, wohingegen n, der Index der Folge, unendlich groß wird, weil man den gegen unendlich laufen lässt, wenn man den Grenzwert der Folge ermitteln will. Wir haben hier für a keine konkrete Zahl eingesetzt, sondern dieses a beliebig gelassen. Es nimmt innerhalb dieser Folge aber trotzdem die gleiche Position ein wie eine konkrete Zahl, ob nun 5 oder 1000000 oder sonstwas.

27.09.2014, 14:35

Hosenschlange

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Vielen Dank für deine Hilfe!!! Die Erklärung hat geholfen.

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