[Elementare Zahlentheorie] Die 13. Stelle einer Zahl bestimmen

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26.09.2014, 21:31	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
[Elementare Zahlentheorie] Die 13. Stelle einer Zahl bestimmen Hallo ihr Lieben, ich habe gerade für die Vorbereitung einer Prüfung am Montag über 60 Aufgaben mit teils sehr verzwickten Beweisen erledigt, aber komme mir doof vor, weil ich 2 Rechenaufgaben einfach nicht lösen kann: "Die folgenden Rechnungen sind richtig, allerdings sind einige Ziffern unleserlich und hier mit x, y oder z bezeichnet. Bestimmen Sie die fehlenden Ziffern: $\begin{eqnarray} (a) 15! = 130767x368y00 \end{eqnarray}$ . ---> recht einfach, da Teilbar durch 1000 und teilbar durch 9. $\begin{eqnarray} (b) 17^{22}-8^{22} = 117456280273417x164135856225 \end{eqnarray}$ . --> Keine Ahnung! Hilft mir eventuell $\begin{eqnarray} 17^{22}-8^{22}=(17^{11})^2-(8^{11})^2=(17^{11}+8^{11})(17^{11}-8^{11}) \end{eqnarray}$ ? Nicht nur diese Aufgabe bereitet mir Sorgen, sondern auch eine andere desselben Typs: $\begin{eqnarray} 145379629538 1026020887 = 14916253x4503101602yz. \end{eqnarray*}$ y und z sind wieder einfach zu bekommen, da sie nur von den jeweils 2 letzten Stellen abhängen, aber das x, das wieder an 13. Stelle steht? Habe auch leider nirgendwo sonst etwas dazu gefunden... Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Liebe Grüße :-)
26.09.2014, 21:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Elementare Zahlentheorie] Die 13. Stelle einer Zahl bestimmen Wende auf $\begin{align} 17^{11}-8^{11} \end{align}$ die dritte binomische Formel an.
26.09.2014, 22:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es um einzelne Ziffern geht, dann helfen oft die Teilbarkeitsregeln durch 9 (Quersumme) oder 11 (alternierende Quersumme): Auch im Falle der Nichtteilbarkeit sind beide hilfreich, denn die (alternierende) Quersumme hat denselben Rest wie die Originalzahl.
26.09.2014, 22:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
deshalb mein hinweis, der zwanglos auf die 9 als Teiler führt
26.09.2014, 22:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dritte binomische Formel? Ich dachte, der Begriff wäre nur für Exponent 2 reserviert, du meinst hier aber die Verallgemeinerung für beliebige natürliche Exponenten.
27.09.2014, 00:08	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, an die 11 habe ich nicht gedacht, bei der unteren Aufgabe kann ich das auch machen, dort ist $\begin{eqnarray} 145379629538 \end{eqnarray}$ durch 11 teilbar und somit auch das Ergebnis, dann kann ich die untere Aufgabe lösen - aber die obere noch immer nicht! Wenn ich die 3. binomische Formel auf $\begin{eqnarray} 17^{11} - 8^{11} \end{eqnarray}$ anwende, dann erhalte ich $\begin{eqnarray} (17^5\sqrt{17}+8^5\sqrt{8})(17^5\sqrt{17}-8^5\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
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27.09.2014, 08:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nochmal deutlich. Ob nun mit dritter binomischer Formel, oder mit Modulrechnung erklärt: $\begin{align} 17^{22}-8^{22} \end{align}$ ist durch 9 teilbar. Wurzeln sind in der elementaren Zahlentheorie i.d.R. fehl am Platze. @URL Siehst du, was ich meine?
27.09.2014, 10:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL: Ich kam, ich sah, ich seufzte Du hast natürlich wie so oft recht
27.09.2014, 11:12	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich etwa sagen $\begin{eqnarray} 17^{22}-8^{22} = (17-8)^{22}(17+8)^{22} = 9^{22}25^{22} \end{eqnarray}$ !? Ich halte diese Umformung für falsch, wüsste aber nicht, wie man sonst mit Hilfe der 3. Binomischen auf die 9 als Teiler kommen sollte! Falls diese Umformung korrekt ist, kann mir jemand sagen, wie ich mir herleiten kann, warum das so ist? Falls nicht: Die 3. binomische Formel hatte ich im ersten POst ja schon mit $\begin{eqnarray} 17^{22}-8^{22}=(17^{11})^2-(8^{11})^2=(17^{11}+8^{11})(17^{11}-8^{11}) \end{eqnarray}$ angewandt! Und wenn ich sie, wie in URLs ersten Post vorgeschlagen, ein weiteres Mal anwende, erhalte ich Wurzeln. Ich sehe jedoch nicht, wie mir das weiterhilft Aber wo du Modulkrechnung sagst... Ist das $\begin{eqnarray} 17^{22}-8^{22} \end{eqnarray}$ kongruent zu $\begin{eqnarray} (-1)^{22}-(-1)^{22} \end{eqnarray}$ kongruent zu $\begin{eqnarray} 1-1 = 0 mod 9 \end{eqnarray}$ ? Schätze das müsste gehen, DANKE!!! :-) Aber dennoch, wie macht man das mit der binomischen?
27.09.2014, 11:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie HAL schon richtig vermutete, schrieb ich dritte binomische Formel und meinte die Gleichung $\begin{align} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{align}$ mea culpa
27.09.2014, 11:49	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ihr habt mir sehr geholfen!

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