Bijektivität

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trish21 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität
Meine Frage:
Guten Morgen ich habe gerade Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität und Bijektivität. Geben Sie die Bildmenge an



Kann mir jemand erklären wie ich an dieser Aufgabe ran gehen soll?

Ich habe da grad grosse Probleme.


Meine Ideen:
keine
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektivität
Mach am besten erst mal eine bijektive Variablentransformation , wodurch du die Betragsstriche in wegbekommst

Zeige dann, dass bijektiv ist. Dies reicht, weil
.
trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit bijektive Variablen Transformation?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du definierst eine neue Variable , mit der von mir oben definierten Abbildung (nimm eine andere Bezeichung, wenn dich das irritiert). Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. So kannst du im Bereich der positiven Zahlen arbeiten und |x| und -x werden mit x<0 zu y>0. Es ist damit |x|-x = 2y. Mehr nicht. Wenn du dann zeigen kannst, dass bijektiv ist, dann ist dein bijektiv.
trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf 2x im Nenner ? Da steht doch x-x ? Und nicht x+x. . geschockt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Wer lesen kann ist klar im Vorteil.


Zitat:
Original von RavenOnJ
[...] So kannst du im Bereich der positiven Zahlen arbeiten und |x| und -x werden mit x<0 zu y>0. Es ist damit |x|-x = 2y. [ ...]


und: eine Funktion hängt nicht vom verwendeten Variablensymbol ab.
 
 
trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt,du was ich genau bei der Aufgabe weiter machen soll?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun, du hast ja jetzt nur zu zeigen, dass



Injektiv, als auch surjektiv ist. Das ist ziemlich klar, da die Funktion offensichtlich eine Umkehrfunktion besitzt. Trotzdem:

1.) Injektiv: zu jedem Bild ( Wert der Wertemenge ) gibt es genau ein Urbild.
2.)Surjektiv: jeder Wert der Wertemenge hat genau ein Urbild.

dafür gibt es vielerlei andere Formulierungen. Da mach dich mal ein wenig schlau.

http://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn y gegen unendlich geht , dann geht der x Term gegen 0?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das ist soweit richtig.

das ganze ist nicht so schwer, eher zu einfach:

( laut Wikipedia ) Bijektiv: Sei ein Element der Wertemenge dann ist die Frage ob es genau ein Element aus der Definitionsmenge gibt, das Urbild ist. Aus

folgt , dass es nur ein v_0 gibt.

---------------------------------------------

Bem.: da Wertemenge ist ( woher auch immer ) ist die Angelegenheit eigentlich trivial.

Es gibt aber auch die Funktionsdarstellung:

f: Definitionsmenge --> Zielmenge , wobei die Zielmenge eine Obermenge der Wertemenge ist. Dann muss man sorgfältig untersuchen.
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist also injektiv richtig ?

Aber wie zeige ich das jetzt genau?

f: Definitionsmenge --> Zielmenge , wobei die Zielmenge eine Obermenge der Wertemenge ist. Dann muss man sorgfältig untersuchen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trish21

f: Definitionsmenge --> Zielmenge , wobei die Zielmenge eine Obermenge der Wertemenge ist. Dann muss man sorgfältig untersuchen.


Anscheinend herrscht hier Begriffsverwirrung. "Zielmenge" und "Wertemenge" werden oft synonym gebraucht. Allerdings wird mit "Wertemenge" oder "Wertebereich" auch oft die "Bildmenge" bezeichnet. Bei letzterer wird jeder Wert auch angenommen, bei der Zielmenge nicht unbedingt! Wegen der Begriffsverwirrung würde ich "Wertemenge" und "Wertebereich" nicht benutzen.

Beispiel:
Hier ist die Zielmenge, aber der Bildbereich,die Bildmenge oder das Bild.

Injektiv ist eine Funktion genau dann, wenn auf jedes Element aus der Bildmenge genau ein Element aus dem Definitionsbereich abgebildet wird, wenn also das Urbild jedes Elements aus genau einem Element besteht.

Jetzt untersuche dies für die Funktion . Kann es zwei Elemente geben, die beide auf denselben Wert abgebildet werden?

Surjektiv ist eine Funktion dann, wenn Zielbereich und Bildbereich übereinstimmen, wenn also jedes Element aus dem Zielbereich auch als Wert der Funktion angenommen wird.

Bijektiv ist eine Funktion dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Unserer Funktion kann es keine 2 Werte geben die auf Dem gleichen Punkt liegen würde ich sagen ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trish21
Bei Unserer Funktion kann es keine 2 Werte geben die auf Dem gleichen Punkt liegen würde ich sagen ?


Du scheinst dir da unsicher zu sein. Ist es jetzt so, oder nicht? Und wie kann man das mathematisch zeigen?

Außerdem, feile mal etwas an deiner Ausdrucksweise. Du solltest schreiben: Es gibt keinen Wert, auf den zwei Elemente aus dem Definitionsbereich abgebildet werden.

In der Mathematik muss man sehr genau die Worte wählen, alles andere führt zu Verwirrung, da es manchmal ähnlich klingende Begriffe gibt, die aber Unterschiedliches bedeuten (siehe die von mir angesprochenen Begriffe weiter oben). Deswegen sollte man auch unklare Begriffe vermeiden, zumindest wenn man mit Leuten außerhalb des eigenen Kreises kommuniziert. Aber selbst dann würde ich das lassen.
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen Wert, auf den zwei Elemente aus dem Definitionsbereich abgebildet werden. Big Laugh

Wie Beweise ich das jetzt ? Tut mir leid ich finde dieses Thema sau schwer.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich bekommt man bei Definitionsbereich die Betragsstriche auch ohne zusätzliche Transformation weg:

Für ist ja und somit .


P.S.: Es ist wohl nur die Gewohnheit, weil wir uns in trittsicherer fühlen. Augenzwinkern
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du genau Hal ?

Sind wir nicht gerade auf dem richtigen Weg?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nein, der Weg ist Ok. Wenn ich anderer Meinung wäre, hätte ich das schon gesagt. Augenzwinkern
Trish21 Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du wie ich weiter vorgehen soll?
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