All- und Existenzquantor mittels Satz vom ausgeschlossenen Dritten

27.09.2014, 11:16	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
All- und Existenzquantor mittels Satz vom ausgeschlossenen Dritten Hallo, Hier ein Auszug aus unserem Vorlesungsskript: Satz vom ausgeschlossenen Dritten (“Tertium non datur”): Eine zul¨assige mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch, jedoch nie beides zugleich. (...) Man kann den All- und Existenzquantor mit Mengen wie folgt definieren: 1 $\begin{eqnarray} \forall x \in M : A(x) \iff \{x \in M; A(x)\} = M \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \exists x \in M : A(x) \iff \{x \in M; A(x)\} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Satzt 1.2.1 Es gilt: i) $\begin{eqnarray} \lnot ( \forall x \in M : A(x) )\iff (\exists x \in M; \lnot A(x)) \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} \lnot ( \exists x \in M : A(x) )\iff (\forall x \in M; \lnot A(x)) \end{eqnarray}$ Beweis i) Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten haben wir die disjunkte Zerlegung $\begin{eqnarray} M= \{x \in M; A(x)\} \cup \{x \in M; \lnot A(x)\} \end{eqnarray}$ Somit gilt $\begin{eqnarray} \lnot ( \forall x \in M : A(x) )\iff \{x \in M; A(x)\} \neq M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff \{x \in M; \lnot A(x)\} \neq \emptyset \iff\exists x \in M : \lnot A(x) \end{eqnarray}$ Analog erhält mal ii) Das alles ist relativ neu für mich, daher einige Fragen. Ich seh nicht, wieso 1 äquivalent sein soll. Ausgesprochen heisst das doch in etwa: Für alle x in M gilt die A(x) (Die Aussage ist für alle x wahr) ist äquivalent zu: Die Menge M wird definiert durch: x sei element von M, die Aussage für x ist wahr. Ist der Gedanke dahinter dass die "linke" seite eine wahre Aussage für alle x definiert, rechts jedoch erst alle x in einer Menge zusammengefasst werden, wass am Schluss wieder dassselbe ist, da ja bei beiden Aussagen x in M gilt. Hab ich das korrekt gelesen? Wichtig: Ich lese : oder \| als "gilt", was jedoch bedeutet ein Semikolon? Auch nur eine Abgrenzung? Dann weiter zur Aussage im Beweis (M = ....) die besagt doch: Die Menge M sei definiert durch: x in M mit der wahren Aussage A vereinigt mit den x für welche die Aussage falsch ist. Das ganze ist negiert, also gilt: Alle x sind > 0. Oder anderst: Die erste Klammer definiert alle pos. x und die zweite alle negativen X wobei diese negiert werden weshalb die Menge M nur positive Zahlen enthält. Mir ist ein wenig unklar was die rechte Klammer bei der Vereinigung (also das negierte A(x)) genau macht. Ob es alle posiviten X negiert oder alle negativen Aussagen positiviert.
27.09.2014, 12:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verwechselst "=" mit ":=". Das zweite bedeutet, dass eine Menge definiert wird, während das erste Gleichheit aussagt. Es wird also in dem Beweis nichts neues definiert, sondern behauptet, dass zwei Mengen gleich sind.

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