Stochastik Zufallsvariable Dichte

28.09.2014, 11:59

blibblub

Stochastik Zufallsvariable Dichte

Meine Frage:
Ich sitze an der folgenden Aufgabe, an sich weiß ich, wie ich vorgehen soll, jedoch komme ich bei der Rechnung doch irgendwie nicht weiter!

Sei $\begin{eqnarray*} f_{\mu}(x)=c_{\mu}\cdot \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{2}(lnx-{\mu})^{2} } \cdot 1_{{]0,\infty [}} (x) \end{eqnarray*}$

(die 1 ist Indikatorfunktion)
a)Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} c_{\mu} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f_{\mu} \end{eqnarray*}$ die Dichte der Verteilung einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{\mu} \end{eqnarray*}$ ist.
b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $\begin{eqnarray*} {\mu} \end{eqnarray*}$ .
c) Ist der Maximum-Likelihood-Schätzer erwartungstreu? Bestimmen Sie auch seine Varianz.

Meine Ideen:
Also bei Aufgabe a, muss ich ja an sich nur folgendes setzen:
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty }^\infty \! c_{\mu}\cdot \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{2}(lnx-{\mu})^{2} } \cdot 1_{{]0,\infty [}} (x) \, dx \end{eqnarray*}$
jedoch weiß ich leider nicht, wie ich mit der Funktion weiter rechnen soll.
bei b) und c) fehlt mir die Idee, ich habe das mit diesen ML-Schätzern nicht wirklich verstanden.

29.09.2014, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von blibblub
Also bei Aufgabe a, muss ich ja an sich nur folgendes setzen:
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty }^\infty \! c_{\mu}\cdot \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{2}(lnx-{\mu})^{2} } \cdot 1_{{]0,\infty [}} (x) \, dx \end{eqnarray*}$

Die Indikatorfunktion verarbeitet bedeutet dies

$\begin{align*} 1 = \int\limits_0^{\infty} c_{\mu}\cdot \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{2}(\ln x-\mu)^2} ~ \dd x \end{align*}$

Jetzt kannst du z.B. $\begin{align*} y=\ln x - \mu \end{align*}$ substituieren, und erhältst ein Integral, dass dich an die Standardnormalverteilung erinnern sollte.

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