Tangenten die parallel zu den Sehnen einer Ellipse verlaufen

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voDKa Auf diesen Beitrag antworten »
Tangenten die parallel zu den Sehnen einer Ellipse verlaufen
Ich komme mit folgender Aufgabenstellung nicht ganz klar: Gegeben ist eine Ellipse. Ermittle die Gleichungen jener Tangenten die parallel zu den Sehnen sind, die jeweils einen Hauptscheitel mit einem Nebenscheitel verbinden und die Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangenten.

ell: 25x² + 144y² = 3600

Stimmt es dass ich nur anhand dieser Angabe bereits die Steigung der Tangenten (k) ablesen kann? Funktioniert dass indem ich die gegebenen Ellipsengleichung in die allgemeinen Form von x²/a² + y²/b² = 1 bringe? Kann ich dann mit "a" bzw. "b" die Steigung ablesen? bitte erklärt mir das.

btw. wo finde ich eine "idiotensichere" Erklärung einer Ellipse??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Geometrisch kannst du dir eine Ellipse als "verdatschten Kreis" vorstellen. Damit meine ich, daß man einen Kreis durch eine axiale Streckung, z.B. in y-Richtung, in eine Ellipse verformen kann. Und mit der umgekehrten axialen Streckung kriegt man den Kreis wieder zurück.
Der Unterschied zwischen einer axialen und einer zentrischen Streckung ist: Bei der axialen Streckung wird nur in eine Richtung gestreckt, bei der zentrischen Streckung wird in beide Richtungen (x- und y-Richtung) gestreckt. (Deswegen macht eine zentrische Streckung aus einem Kreis wieder einen Kreis.)

Durchdenke dies schon einmal ein bißchen. In der Zwischenzeit male ich ein Bildchen.
karl_k0ch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich konnte mit Haupt- und Nebenscheitel nichts anfangen, aber da googels erster Hit aufs Matheboard geht, kann ich dir helfen:

http://matheboard.de/lexikon/index.php/Ellipse_(Geometrie)

Zu erst solltest du die Haupt und Nebenscheitel bestimmen.
Dann kannst du einfach eine Grade finden, die sie verbindet, damit hättest du tatsächlich schon die Steigung.

Nun musst du nur noch die Grade (entlang der Halbachsen) verschieben, bei sie genau einenen Schnittpunkt mit der Ellipse hat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... und hier wie versprochen das Bild.

Der Kreis hat den Radius 3 und wird in y-Richtung mit 4/3 gestreckt. Du erhältst eine Ellipse mit den Halbachsen 3 und 4.
voDKa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die gegebene Gleichung in die allgemeine Gleichung einer Ellipse gebracht und somit "a" und "b" berechnet (a=12, b=5)

stimmt es wenn ich sage Steigung 1 = - b/a also bei meinem Beispiel -5/12
bzw. Steigung 2 = b/a bei meinem Beispiel dann 5/12

und wo würden jetzt diese beiden Steigungen sein, d.h für welche Tangenten bzw. Sehnen gelten sie?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Muß b nicht gleich 15 sein?
 
 
voDKa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Muß b nicht gleich 15 sein?


entschuldige ich habe eine falsche Angabe gepostet. :P
die richtige Angabe lautet: 25x² + 144y² = 3600
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

a=12, b=5 stimmt jetzt.

Du kannst jetzt leicht die Steigungen der betreffenden Sehnen ermitteln. Hänge dazu ein Steigungsdreieck zwischen den Endpunkten der Sehne auf und berechne

Vorsicht! Vorzeichen!

Ich mache dir aber einen Alternativvorschlag:
Gehe vom Kreis mit dem Radius 12 aus:

und löse die Aufgabe für diesen Kreis. Die Steigungen der Sehnen sind offensichtlich. Auch die Berührpunkte der Tangenten kannst du unmittelbar ablesen (hierfür gilt ja: x'=y' bzw. x'=-y'). Dann kannst du mit der Punkt-Steigungs-Formel die Tangentengleichungen bestimmen (verwende die Variablen x' und y').
Und jetzt mußt du die ganze Figur nur noch in y-Richtung mit dem Faktor 5/12 strecken: x=x' (keine Streckung), y=(5/12)y' (Streckung in y-Richtung). Ersetze nach diesen Formeln die gestrichenen Größen durch die ungestrichenen. Aus dem Kreis wird dann deine Ellipse und aus den Kreistangenten werden Ellipsentangenten (Parallelität bleibt bei axialer Streckung erhalten).
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit zur schnellen Berechnung der Tangente ist die Berührbedingung:



Sehne:

Berührbedingung:



Da kannst du dir dann ausrechnen und hast dann die Tangente:

Diese Methode hat mit Anschaulichkeit allerdings nichts zu tun. Daher ist Leopolds sicher vorzuziehen. smile
voDKa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
a=12, b=5 stimmt jetzt.

Du kannst jetzt leicht die Steigungen der betreffenden Sehnen ermitteln. Hänge dazu ein Steigungsdreieck zwischen den Endpunkten der Sehne auf und berechne

Vorsicht! Vorzeichen!

Ich mache dir aber einen Alternativvorschlag:
Gehe vom Kreis mit dem Radius 12 aus:

und löse die Aufgabe für diesen Kreis. Die Steigungen der Sehnen sind offensichtlich. Auch die Berührpunkte der Tangenten kannst du unmittelbar ablesen (hierfür gilt ja: x'=y' bzw. x'=-y'). Dann kannst du mit der Punkt-Steigungs-Formel die Tangentengleichungen bestimmen (verwende die Variablen x' und y').
Und jetzt mußt du die ganze Figur nur noch in y-Richtung mit dem Faktor 5/12 strecken: x=x' (keine Streckung), y=(5/12)y' (Streckung in y-Richtung). Ersetze nach diesen Formeln die gestrichenen Größen durch die ungestrichenen. Aus dem Kreis wird dann deine Ellipse und aus den Kreistangenten werden Ellipsentangenten (Parallelität bleibt bei axialer Streckung erhalten).



kann ich nicht einfach hergehen und b/a rechnen bzw. -b/a, -b/-a, b/-a
dann hätte ich doch die Steigungen aller vier Tangenten, oder etwa nicht?

warum muss ich eigentlich b/a und kann nicht a/b rechnen?
voDKa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grybl
Eine Möglichkeit zur schnellen Berechnung der Tangente ist die Berührbedingung:



Sehne:

Berührbedingung:



Da kannst du dir dann ausrechnen und hast dann die Tangente:

Diese Methode hat mit Anschaulichkeit allerdings nichts zu tun. Daher ist Leopolds sicher vorzuziehen. smile


Es wäre zu schön, wenn es mir erlaubt wäre diese Formel anzuwenden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

vide!
voDKa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
vide!


ich kann mit diesem Bild leider nur sehr wenig anfangen, aber trotzdem danke.

kann ich nun die Steigung mit der vorher erwähnten Methode ausrechnen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kannst du die Steigungen so ausrechnen. Es ist ja (je nach Sehne mit dem passenden Vorzeichen)
Zeichne dir Steigungsdreiecke ein und denke nicht nur formal!
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Orginal voDKa
Es wäre zu schön, wenn es mir erlaubt wäre diese Formel anzuwenden.


Darfst du das nicht? verwirrt
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