Bogenlänge komplexer Exponentialfunktionen

28.09.2014, 20:10

skliwa

Bogenlänge komplexer Exponentialfunktionen

Meine Frage:
Hi!

wie wäre eure vorgehensweise bei der berechnung der bogenlänge folgender komplexen funktion:

f(t) = exp(j*t) + exp(j*5*t) + 2

Meine Ideen:
lässt sich hier die additivität anwenden, z.B.
f1(t) = exp(j*t); f2(t) = exp(j*5*t); f3(t) = 2; und dann die länge von f(t):

$\begin{eqnarray*} L(f(t)) = \int_a^b \! f1(t)*f1'(t) \, dt + \int_a^b \! f2(t)*f2'(t) \, dt + \int_a^b \! f3(t)*f3'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

Danke für die Unterstützung!

30.09.2014, 10:31

skliwa

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Hat hierzu jemand eine Idee?

30.09.2014, 11:00

bijektion

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Du kannst es erstmal als Kurve im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ auffassen.
Was ist in deiner Rechnung denn etwa f1?

30.09.2014, 12:25

skliwa

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Die Funktionen f1(t), f2(t) und f3(t) sind die Teilfunktionen der Hauptfunktion f(t), d.h.:

$\begin{eqnarray*} f1(t) = e^{j\cdot t} f2(t) = e^{j\cdot 5t} f3(t) = 2 \end{eqnarray*}$

Die Funktion f(t) befindet sich im komplexen Bildbereich und verläuft leider nicht entlang einer Imaginär- oder Realachse. Daher erscheint mir die Bestimmung ihrer Bogenlänge im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als nicht möglich.

30.09.2014, 12:30

bijektion

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Deshalb schlage ich auch vor, Funktion als Kurve im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aufzufassen, und zwar so: $\begin{eqnarray*} f(t) = (\cos(t)+\cos(5t)+2))+j\cdot( \sin(t)+\sin(5t)) \end{eqnarray*}$ nach der Eulerschen Identität, fassen wir das auf als $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, t\mapsto \begin{pmatrix} \cos(t)+\cos(5t)+2 \\ \sin(t)+\sin(5t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie wird die Länge einer Kurve bestimmt? Das sollte bekannt sein.

02.10.2014, 09:31

skliwa

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Danke bijektion für Deine Hilfe!

Ich suche weiter nach einer allgemeinen Formel.
Wenn ich sie nicht finde dann werde ich den workaround nehmen.

02.10.2014, 10:00

bijektion

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Was verstehst du denn unter einer allgemeinen Formel?

06.10.2014, 20:08

skliwa

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...nach einer langen Pause bin ich wieder da.
Die allgemein bekannte Formel zur Berechnung der Bogenlänge (Kurvenlänge) bei Funktionen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ lautet:

$\begin{eqnarray*} l = \int_a^b \! |f'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

In meinem Fall, bei der Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(t) = z1\cdot e^{j(t+\alpha 1)} + z2\cdot e^{j5\cdot (t+\alpha 2/5)} + C \end{eqnarray*}$

existiert jedoch die Stammfunktion des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |f'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$ nicht.

Deshalb ist die Berechnung der Bogenlänge in meinem Fall nicht möglich
oder möglich nur durch Iteration.

06.10.2014, 21:27

bijektion

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Mh, ich verstehe dich nicht. Also wenn du

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, t\mapsto \begin{pmatrix} \cos(t)+\cos(5t)+2 \\ \sin(t)+\sin(5t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

nutzt, solltest du auf $\begin{eqnarray*} f'(t)=\begin{pmatrix} -(\sin(t)+5\cdot\sin(5t)) \\ \cos(t)+5\cdot\cos(5t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommen.

Was ist nun $\begin{eqnarray*} ||f'(t)||_2 \end{eqnarray*}$ ?

06.10.2014, 22:15

skliwa

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das Problem ist, es gibt noch vor den Exponentialfunktionen z1 und z2 als Beträge der jeweiligen e-Funktionen. Unter anderem dadurch ist es unmöglich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |f'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$ zu finden.

06.10.2014, 22:40

bijektion

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Zitat:

es gibt noch vor den Exponentialfunktionen z1 und z2 als Beträge der jeweiligen e-Funktionen.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ ?
Du siehst doch ein, dass $\begin{eqnarray*} f(t) = (\cos(t)+\cos(5t)+2))+j\cdot( \sin(t)+\sin(5t)) \end{eqnarray*}$ ist, oder?
Welche Beträge sollen dann $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ sein?

06.10.2014, 22:53

skliwa

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Ja, das ist korrekt.
Mit den Beträgen sieht die Funktion allerdings so aus:
$\begin{eqnarray*} f(t) = z_1\cdot cos(t+\alpha_1) + z_2\cdot cos(5t+\alpha_2) + 2 + j(z_1\cdot sin(t+\alpha_1) + z_2\cdot sin(5t+\alpha_2)) \end{eqnarray*}$

12.10.2014, 09:18

skliwa

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Hi bijektion,

stimmst Du mir zu, dass die Stammfunktion von dem Integral nicht mit üblichen mathematischen Funktionen hergeleitet werden kann?

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