Ist eine Folge konvergent oder divergent?

28.09.2014, 20:43

MatheBerli1

Ist eine Folge konvergent oder divergent?

Meine Frage:
Hey!
Ich dachte immer man könnte ausrechnen ob eine Folge konvergent ist indem man mit "lim n strebt gegen unendlich" den Wert g ausrechnet. Wenn dann ein Wert rauskommt ist die Folge konvergent, wenn nicht ist sie divergent. Aber jetzt habe ich eine Aufgabe bekommen, wo ich erkennen soll, ob die folge konvergent ist durch eine Rechnung zur Epsylonumgebung. Könnt ihr mir das erklären?

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist : Betrag von an - g ist kleiner als Epsylon.

28.09.2014, 20:49

Gast11022013

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Um welche Folge geht es denn?
Was genau möchtest du erklärt haben?

28.09.2014, 21:18

MatheBerli1

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es gibt z.B. die Aufgabe an = 5-3n^2 / 2n^2 + 2n
Hier sollen wir durch Testeinsetzung eine Vermutung des Grenzwertes machen, da habe ich -1,5 raus. Und dann sollen wir unsere Prognose überprüfen.

28.09.2014, 21:20

Gast11022013

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Ja, der Grenzwert wäre -1,5

Und wie würdest du dies nun überprüfen?

28.09.2014, 21:30

MatheBerli1

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Also ich würde jetzt eigtl. einfach nur das rechnen wie im Bild ( soryy das n etwas verschoben :/ )
Aber unser Lehrer will da irgendwas von wegen Epsylon-Umgebung mit der Formel l an -g l ist kleiner als epsylon

28.09.2014, 21:41

Gast11022013

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Ja, wenn man die entsprechenden Grenzwertsätze zur Verfügung hat, dann könnte man hier im Zähler und Nenner n^2 kürzen und so den Grenzwert leicht berechnen.

$\begin{eqnarray*} |a_n-(-\tfrac{3}{2})|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Schreibe am besten erst einmal die entsprechende Definition hin.

P.S.

Ich bin jetzt leider weg.

29.09.2014, 19:30

MatheBerli1

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Naja die Definition zum Grenzwert einer Folge ist ja:
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge an , wenn ab einem bestimmten Index N der Folge an alle weiteren Glieder in einer beliebig kleinen Epsylon-Umgebung von g liegen. Also gilt die formel die du eingetippt hast smile

Wenn ich das auf das Beispiel übertrage wäre es ja so:

| (5-3n^2)/(2n^2+2n) – 1,5 | < µ

Kann ich dann für Epsylon einfach irgendeine Zahl einsetzen?

29.09.2014, 20:05

Dopap

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Zitat:

Original von MatheBerli1
Naja die Definition zum Grenzwert einer Folge ist ja:
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge an , wenn ab einem bestimmten Index N der Folge an alle weiteren Glieder in einer beliebig kleinen Epsylon-Umgebung von g liegen. Also gilt die formel die du eingetippt hast smile

Wenn ich das auf das Beispiel übertrage wäre es ja so:

| (5-3n^2)/(2n^2+2n) – 1,5 | < µ

erstmal:

$\begin{eqnarray*} | \frac {5-3n^2}{2n^2+2n} {\color{red} +}1,5 | < µ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Kann ich dann für Epsylon einfach irgendeine Zahl einsetzen?

nein.

Ansonsten wäre wichtig zu wissen ob der Term im Betrag für grosse n positiv ist.

Das und weiteres entscheidet sich am besten nach einer Polynomdivision.

04.10.2014, 16:28

MatheBerli1

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Sorry, dass ich erst jetzt antworte Ups

Oh ja, da hab ich aus Versehen ein Minuszeichen hingeschrieben ^^

Mein Lehrer meinte, dass man für Epsilon einfach aussuchen kann, was man einsetzt, er nimmt immer 1/1000.

Das habe ich jetzt hier auch gemacht. Kann ich dann die p-q-formel anwenden? oder habe ich einen fehler gemacht?

04.10.2014, 16:43

Gast11022013

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Zitat:

Mein Lehrer meinte, dass man für Epsilon einfach aussuchen kann, was man einsetzt, er nimmt immer 1/1000

Das ist eigentlich nicht korrekt.
Es heißt ja, dass es für jedes beliebig kleine Epsilon gelten muss, dass irgendwann alle Folgeglieder in so einer Umgebung liegen.

Wenn ich mir das aussuchen könnte, dann könnte ich auch sagen, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$

konvergiert, wenn ich Epsilon beliebig wählen könnte.

Eigentlich musst du einen solchen Index für jedes Episilon angeben können.

Naja, da ich mir über die Ansprüche dieser Aufgaben für die Schule im unklaren bin und es eurem Lehrer wohl reicht einfach irgendein Epsilon anzugeben für das es passt, verabschiede ich mich hier lieber und gebe den Thread für jemand anderes frei.

04.10.2014, 23:27

Dopap

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nun, den Grenzwert mittels $\begin{align*} \epsilon-\delta \end{align*}$ Methode zu bestätigen ist auch etwas ambitioniert.

die Polynomdivision der Folge ergibt $\begin{align*} -\frac 32+\frac {3x+5}{2x^2+2x} \end{align*}$

Nun ist aber bekannt, dass der Grenzwert einer gebrochen rationalen Folge mit Nennergrad > Zählergrad Null ist. Ansonsten wird obiger Bruch mit 1/n erweitert, woraus folgt:

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty }\frac {3n+5}{2n^2+2n}=\lim_{n \to \infty }\frac {3+\tfrac 5n}{2n+2} \end{align*}$ und spätestens jetzt ist alles klar.

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Nimmt man nun : Folgenterm $\begin{align*} +1,5<\epsilon \end{align*}$ , dann erhält man als größere der 2 Lösungen:

$\begin{align*} n>\frac {3-2\epsilon +\sqrt {4\epsilon^2+28\epsilon +9}}{4\epsilon} \end{align*}$

und jetzt müsste man den Radikanden etwas vergrößern bis ein Binom entsteht ... um auf einen linearen Term für $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ zu kommen. geschockt

und dann das ganze nochmal für $\begin{align*} n\to -\infty \end{align*}$

Als Lehrer würde ich das mal vorstellen, um dann mit sicherer Zustimmung der Schüler in Zukunft darauf zu verzichten. Ein Einsetzen von konkreten Werten käme aber nicht infrage.

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