Differentialgleichung - verschiedenes

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Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung - verschiedenes
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier Aufgaben zum Thema Differentialgleichungen und ziemliche Startschwierigkeiten.
Hier die Aufgaben:

1. Zeichnen Sie (andeutungsweise) das Richtungsfeld der Differenzialgleichung
y ´ = 1 + x - y

2. konstruieren Sie damit näherungsweise den Verlauf der Lösung, für die y(0) = 2 gilt.

3. Bestimmen Sie diese Lösung rechnerisch.

Meine Ideen:
Ich habe so gar keinen Ansatz bezüglich der Aufgaben. Beginnen wir zunächst mit der 1. Aufgabe: Das Richtungsfeld besteht aus Linienelementen, aus dem sich einen ungefähren Überblick über den Verlauf der Lösungskurven ergibt. Ich weiß also, wie das hinterher aussehen soll. Die Frage ist, wie kommt man dorthin.
Aus dem wenigen Material, das ich habe, konnte ich entnehmen, dass ein Linienelement durch m=f(x;y) definiert ist. Wobei



Kann mir hierbei jemand helfen und Starthilfe geben?

Danke und Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Duinne,

es gilt (bekanntlich) und ist dabei der Winkel, den das Richtungsfeld mit der x-Achse bildet. Da m nun eine Funktion von x und y ist, kannst Du in einem Koordinatensystem, an jeder Stelle eine kleine Steigungstangente zeichnen und damit die erste Aufgabe lösen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine erste Antwort!

Was bedeutet "an jeder Stelle"? Wähle ich für x0 und y0 irgendwelche Zahlen aus?
Falls ja, würde ich sie einfach einsetzen und erhalte dann den Winkel alpha.

Also zum Beispiel:



Das würde dann bedeuten, ich habe ein Linienelement imPunt P(1|1) mit einem Winkel von 45° zur X-Achse. Korrekt?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Korrekt?

Genau Freude . Bei Aufgabe 1 muss man noch ein Raster wählen. Also z.B. für x und y zumindest alle ganzen Zahlen nehmen und je nach Zeit auch noch Werte zwischen den ganzen Zahlen. Sobald das Richtungsfeld ausreichend gut interpoliert werden kann, ist die Aufgabe gelöst. Um Aufgabe 2 auch lösen zu können, würde ich das Raster bei x = -5 und y = -3 starten und bei y = 7 und x=5 enden lassen. Bei Bedarf auch noch etwas weiter.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, okay, dann habe ich mir das schon mal richtig überlegt.

Warum würdest du bei x = -5 und y = -3 starten und bei y = 7 und x=5 enden? Wie überlegt man sich das?

Zu 3. fällt mir nicht so richtig etwas ein. Ich weiß, dass es verschiedene DGLs gibt. Je nachdem, welche man vorliegen hat, wendet man ein entsprechendes Verfahren an. Da wäre einmal die Möglichkeit, die Variablen zu trennen oder mittels Substitution. Diese Gleichung hier kommt für eine Trennund der Variablen nicht in Frage.

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank für die Hilfe!

Grüße
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Warum würdest du bei x = -5 und y = -3 starten und bei y = 7 und x=5 enden? Wie überlegt man sich das?

Der Bereich ist symmetrisch zum Punkt P(0,2) gewählt, also für die grafische Lösung der DGL geeignet. Zudem ist das Richtungsfeld relativ übersichtlich. Es enthält keine singulären Punkte und auch keine "schlimmen" Strudel, so dass fünf Einheiten für Aufgabe 2 gerade genügen sollten. Wer mehr Zeit hat nimmt zehn Einheiten und bekommt dann eine etwas detailliertere Skizze, also -10 <= x <= 10 und -8 <= y <= 12. Ohne Vorgaben muss/kann man hier in einem sinnvollen Rahmen ein wenig experimentieren.

Zitat:
Bin ich da auf dem richtigen Weg?

Probier mal das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten smile
 
 
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann sollte ich 1 und 2 hinbekommen.

Danke für den Link! Wirklich verstehen tue ich es allerdings nicht. Wow... Also, bin schon etwas verwirrt von der Ausgangslage in Wikipedia, da steht ja, dass eine "skalare lineare Differentialgleichung erster Ordnung" betrachtet wird. Aber die habe ich nicht, oder?

Habe nochmal gelesen aber mir ist nicht klar, wann ich was machen muss. Es ist verwirrend...
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Aber die habe ich nicht, oder?

Überlies einfach mal das Wort "skalar" und setze A(x) := -1 und b(x) := x + 1.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »



Ich kann das überhaupt nicht nachvollziehen... In der Vorlesung sah das irgendwie alles anders aus.
Wird da eigentlich die Konstante abgeleitet? Da ist doch ein Strich dran.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

An die Methode "Variation der Konstanten" muss man sich eventuell erst gewöhnen - mag sein, ist aber trotzdem Standard. Welche Methoden gab es denn in der Vorlesung neben "Trennung der Variablen". Da müssen doch bestimmte Begriffe gefallen sein?
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn die folgende Lösung stimmt, muss ich dich nicht mit gefallenen Worten meiner Vorlesung langweilen =)



Hatte noch ein super Video gefunden und es auf meine Aufgabe angewendet.

Ich hoffe, jetzt bekomme ich ein Sternchen...

Danke und Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Ich hoffe, jetzt bekomme ich ein Sternchen...

Dazu drei Kommentare:
1) und off topic: Melde Dich an, dann bekommst Du relativ schnell viele Sternchen Big Laugh
2) Die Lösung ist leider noch nicht ganz richtig, wie man durch Ableiten und Einsetzen Deiner Lösung schnell nachprüfen kann. Du hast das Verfahren also noch nicht fehlerfrei umgesetzt.
3) Ich habe aktuell nur wenig Zeit und kann mir das voraussichtlich erst heute abend weiter ansehen Wink .
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Für das anmelden muss ich mir erstmal in Ruhe die AGB's durchlesen und abschätzen, ob mich hier jemand verkaufen möchte. Schauen wir mal, wie wichtig die Sterne sind ^^

Einen Fehler konnte ich jetzt nicht finden. Ich wäre also sehr froh, wenn du mir dazu noch einmal etwas sagen könntest. Selbstverständlich erst, wenn du Zeit hast.

Ich danke dir aber trotzdem schon mal für deine Unterstützung! Wink
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bernhard1
2) Die Lösung ist leider noch nicht ganz richtig, wie man durch Ableiten und Einsetzen Deiner Lösung schnell nachprüfen kann. Du hast das Verfahren also noch nicht fehlerfrei umgesetzt.

Öhm ... doch, die Lösung von Duinne ist wohl korrekt.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Öhm ... doch, die Lösung von Duinne ist wohl korrekt.

Stimmt. Danke für den Hinweis Hammer
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Na das ist doch wunderbar Freude
Vielen Dank für die Hilfe und einen schönen Abend noch!
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