Schreibweise eines Ergebnisraums

29.09.2014, 13:25

klauss

Schreibweise eines Ergebnisraums

Von einer Schülerin (FOS), die gerade mit Stochastik angefangen hat, wurde ich am Wochenende mit einer etwas eigenartigen Aufgabe konfrontiert.

1.
Am Beispiel des einmaligen Werfens eines Würfels wurde eine Unterscheidung zwischen "feiner" und "grober" Angabe des Ergebnisraums vorgenommen. Dabei sollte die "feinste" Angabe lauten
$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ 1;2;3;4;5;6\right\} \end{eqnarray*}$
also die übliche Aufzählung aller Elementarereignisse.
Als "grobe" Angabe des Ergebnisraums wurde dann genannt
$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;6\right\} \end{eqnarray*}$

Die Unterscheidung zwischen grobem und feinem Ergebnisraum ist mir bisher so nie untergekommen; ich habe inzwischen mal gegoogelt und ein paar Erwähnungen gefunden, wenngleich die nicht besonders bedeutsam zu sein scheinen.

Jedenfalls habe ich dann gegenüber der Schülerin die grobe Schreibweise unter Verweis auf Mengenoperationen kritisiert, denn eigentlich gilt doch für das Ereignis "Augenzahl kleiner als 6"
$\begin{eqnarray*} E_{1} =\left\{ 1;2;3;4;5\right\}; E_{1} \subset \Omega \end{eqnarray*}$
während die grobe Schulversion so aussieht, also ob $\begin{eqnarray*} E_{1} \in \Omega \end{eqnarray*}$ .

2.
Als nächstes hieß es dann, die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;5;6\right\} \end{eqnarray*}$
sei keine gültige Angabe eines Ergebnisraums, da die 5 hier zweimal enthalten sei.
Auch das fand ich fragwürdig, denn mit $\begin{eqnarray*} E_{2}=\left\{ 5\right\}, E_{3}=\left\{ 6\right\} \end{eqnarray*}$ erhält man bei Betrachtung von Ereignissen als Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ doch eigentlich ohne Probleme $\begin{eqnarray*} \Omega=E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3})=1 \end{eqnarray*}$ (wobei Wahrscheinlichkeiten im Unterricht noch nicht dran waren).

Was ist also nun korrekt? Eine Schreibweise wie $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;6\right\} \end{eqnarray*}$ kommt mir unter Berücksichtigung der dahinterstehenden akademischen Theorie jedenfalls äußerst schlampig vor und zudem irreführend im Hinblick auf die genannten Mengenverknüpfungen. Ist die Unterscheidung "grober/feiner" Ergebnisraum sinnvoll oder angreifbar? Habe ich zu Recht kritisiert?

Bin für alle Antworten dankbar, damit ich das Thema beim nächsten Termin mit der Schülerin nochmal ansprechen kann.

29.09.2014, 14:16

h4mmer

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RE: Schreibweise eines Ergebnisraums
Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;6\right\} \end{eqnarray*}$

Diese Schreibweise ist sehr fragwürdig um nicht zu sagen falsch und wichtige Informationen fehlen.

Man müsste schon $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ vorraussetzen, damit diese Schreibweise beim Werfen eines Würlfels überhaut Sinn macht.

Eine andere Möglichkeit wäre foglende:

$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{x\in \mathbb N_0:\, x<6\right\}\cup \left\{6\right\} \end{eqnarray*}$

(was wohl mir der obrigen Schreibweise gemeint ist)

Zitat:

ls nächstes hieß es dann, die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;5;6\right\} \end{eqnarray*}$ sei keine gültige Angabe eines Ergebnisraums, da die 5 hier zweimal enthalten sei.

Unter der Vorrausetzung die Schreibweise wie oben anzupassen:
Bei einer Menge entscheiden nur die Elemente, die in ihr enthalten sind. Weder die Reihenfolge noch die Häufigkeit spielen eine Rolle.

Zitat:

Ist die Unterscheidung "grober/feiner" Ergebnisraum sinnvoll oder angreifbar?

Meiner Meinung nach sind Verienfachungen (also Vergröberungen wenn man so will) nur dann sinnvoll, wenn allen Beteildigten klar ist, was gemeint ist und jeder in der Lage ist, aus dem "groben" Ereignissraum den "feinen" zu konstruieren.
Da die Stochastik gerade erst eingeführt wird, würde ich dringenst davon abraten, aber das ist nur meine Meinung smile

Grüße

29.09.2014, 15:24

RavenOnJ

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RE: Schreibweise eines Ergebnisraums

Zitat:

Original von klauss
Als nächstes hieß es dann, die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ kleiner als 6;5;6\right\} \end{eqnarray*}$
sei keine gültige Angabe eines Ergebnisraums, da die 5 hier zweimal enthalten sei.
Auch das fand ich fragwürdig, denn mit $\begin{eqnarray*} E_{2}=\left\{ 5\right\}, E_{3}=\left\{ 6\right\} \end{eqnarray*}$ erhält man bei Betrachtung von Ereignissen als Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ doch eigentlich ohne Probleme $\begin{eqnarray*} \Omega=E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3})=1 \end{eqnarray*}$ (wobei Wahrscheinlichkeiten im Unterricht noch nicht dran waren).

Ergebnisse können durchaus mehrere Elementarereignisse umfassen. Sie müssen aber, als Teilmengen des Raums der Elementarereignisse, disjunkt sein. Insofern ist $\begin{align*} \{\{1,2,3,4,5\},\{6\}\} \end{align*}$ ein Ergebnisraum, $\begin{align*} \{\{1,2,3,4,5\},\{5\},\{6\}\} \end{align*}$ aber nicht, da $\begin{align*} \{1,2,3,4,5\}\text{und }\{5\} \end{align*}$ nicht disjunkt sind.

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