Polynomielles Analogon einer rekursiven Folge

30.09.2014, 16:50	neuling42	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomielles Analogon einer rekursiven Folge Meine Frage: Hallo zusammen! Ich sitze gerade vor einem polynomialen Analogon zu einer rekursiv definierten Folge. Die sieht aus wie folgt: $\begin{eqnarray} a(0) = 0, \ a(1) = 1 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ gelten $\begin{eqnarray} a(2n) = a(n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a(2n+1) = a(n) + a(n+1) \end{eqnarray}$ . Das polynomiale Analogon dazu wird nun wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} a(0;x) = 0, \ a(1;x) = 1 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ gelten $\begin{eqnarray} a(2n;x) = a(n;x^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a(2n+1;x) = xa(n;x^2) + a(n+1;x^2) \end{eqnarray}$ . Ich habe nun ein Beispiel für n=5: $\begin{eqnarray} a(5;x) = x^2 + x + 1 \end{eqnarray}$ . Das habe ich versucht nachzurechnen. Da ich allerdings das erste Mal mit so einer rekursiven Funktion konfrontiert bin wäre es cool, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich den letzten Schritt so durchführen kann, wie ich ihn gemacht habe. Hier meine Rechnung: $\begin{eqnarray} <br /> a(5;x) = a( 2 \cdot 2 + 1; x)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = x \cdot a(2;x^2) + a(3;x^2) <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = x \cdot a(1;x^4) + a(2 \cdot 1 + 1; x^2)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = x \cdot a(1;x^4) + x^2 \cdot a(1;x^4) + a(2;x^4)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = x \cdot 1 + x^2 \cdot 1 + 1\cdot 1<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Frage bezieht sich nun wie gesagt auf den letzten Teil der Rechnung. Kann ich denn [aufgrund der Definition von a(1;x)] sagen, dass $\begin{eqnarray} a(1;x^4) = 1 \end{eqnarray}$ ist? Mir erscheint das als falsch aber mein Ergebnis stimmt ja mit dem überein, was ich als Beispiel habe. Wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand eine Antwort geben könnte und wenn nötig eine Verbesserung sagen könnte! Danke vielmals!
30.09.2014, 17:47	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomielles Analogon einer rekursiven Folge Ich sehe deine Probleme und ich hätte sie wahrscheinlich auch... Ich denke aber, dass deine Rechnung richtig ist und du die Definition richtig interpretiert hast. Wahrscheinlich sollte bspw. die Gleichung $\begin{eqnarray} a(1;x) = 1 \end{eqnarray}$ bedeuten $\begin{eqnarray} a(1;y) = 1 \end{eqnarray}$ für jeden beliebigen Term y, also auch $\begin{eqnarray} y = x^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Im übrigen hast du die Probleme bereits nach der zweiten Termumformung (zum Beispiel auch bei $\begin{eqnarray} a(2;x^2)=a(1;x^4) \end{eqnarray}$ )

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