Darstellung der Fibonacci-Zahlen in Matrixform

30.09.2014, 15:57

AR_ASA14

Darstellung der Fibonacci-Zahlen in Matrixform

Meine Frage:
Hi smile

Ich untersuche momentan die Herleitung der Formel von Moivre-Binet, die sich zur Berechnung einer beliebigen Fibonacci-Zahl eignet. Mein Verständnisproblem liegt bei eigentlichen Ansatz.
Die Fibonacci-Zahlen lassen sich mittels folgender Formel definieren: $\begin{eqnarray*} f_{n+2} = f_{n} + f_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Durch die Reduktion auf Matrixproblem (was genau bedeutet das?) lässt sich die Definition folgendermaßen darstellen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_n \\ f_n+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ^n \begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich nicht was hinter diesem Ansatz dahintersteht. Ich habe einiges zur Formel von Binet gelesen und alle weiteren Schritte der Herleitung sind für mich nachvollziehbar, jedoch verstehe ich nicht ganz wie man zu diesem Ansatz kommt. Tut mir leid, dass meine Frage so unpräzise formuliert ist :/

Vielen Dank im voraus! A.
Wieso

Meine Ideen:
//

30.09.2014, 16:06

bijektion

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Du kannst in etwa so vorgehen: Bestimme erstmal die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du wirst bemerken, dass es $\begin{eqnarray*} T\in GL_n(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gibt,
sodass immer $\begin{eqnarray*} M^n=T^{-1}\cdot \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} \cdot T \end{eqnarray*}$ mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Schau dir nun $\begin{eqnarray*} M^n \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an, dann wirst du vermutlich erknennen, warum die Formel gilt.

Zitat:

Leider verstehe ich nicht was hinter diesem Ansatz dahintersteht.

Wo?

30.09.2014, 16:13

HAL 9000

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Korrektur

Zitat:

Original von AR_ASA14
Durch die Reduktion auf Matrixproblem (was genau bedeutet das?) lässt sich die Definition folgendermaßen darstellen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_n \\ f_n+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ^n \begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Links unten steht gewiss nicht $\begin{align*} f_n+1 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} f_{n+1} \end{align*}$ .

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