Gleichung mit Beträgen

30.09.2014, 23:33

Hammy27

Gleichung mit Beträgen

Hallo zusammen, hoffe ihr könnt mir bei folgender Fragestellung weiterhelfen:

$\begin{eqnarray*} |x|+|y|+||y|+|x||=|x-y|+|x+y| \end{eqnarray*}$

Nun ist mir klar, dass folgende Aussagen gelten:

i) $\begin{eqnarray*} |ab|=|a||b| \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} |a+b|\le |a|+ |b| \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} ||a|-|b|| \le |a-b| \end{eqnarray*}$

Da nun definiert ist dass $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ habe ich ein Problem da ich ja somit einige Fälle haben werde, in denen die Unterschiede effektiv gegeben sind.

Nun habe ich von Äquivalenzumformungen gehört, da komm ich aber auch nicht wirklich weiter.
Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen oder einen Denkanstoss geben? Weill einfach das kleinergleich-Zeichen durch ein gleichheitszeichen zu ersetzen erscheint mir zu trivial und falsch.

Danke.

01.10.2014, 00:52

Stephan Kulla

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RE: Gleichung mit Beträgen
Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} |x|+|y|+||y|+|x||=|x-y|+|x+y| \end{eqnarray*}$

kann nicht stimmen. Wähle zum Beispiel x=2 und y=1. Bist du dir sicher, dass die Gleichung so aussieht?

Zitat:

Weill einfach das kleinergleich-Zeichen durch ein gleichheitszeichen zu ersetzen erscheint mir zu trivial und falsch.

Richtig, das wäre ziemlich falsch... (Für a=2 und b=-1 ist zum Beispiel nicht $\begin{eqnarray*} |a+b|= |a|+ |b| \end{eqnarray*}$ )

01.10.2014, 08:23

Hammy27

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RE: Gleichung mit Beträgen
Stimmt... das sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} |x|+|y|+||x|-|y||=|x-y|+|x+y| \end{eqnarray*}$

01.10.2014, 12:21

Stephan Kulla

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RE: Gleichung mit Beträgen
Ohne es komplett geprüft zu haben, aber ich denke dass eine Fallunterscheidung, ob x und y dasselbe Vorzeichen haben, sollte dir helfen... (der Fall x=0 oder y=0 ist schnell zu zeigen)

01.10.2014, 14:12

Hammy27

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Ok dann werde ich in den Fall 4 Fallunterscheidungen durchführen für:

i) x, y >= 0
ii) x<0, y>=0
iii)x>=0, y<0 und
iv) x<0, y<0
?

Darf ich dafür einfach Zahlen einsetzen? Wohl kaum, oder? Resp. muss ich nicht stattdessen probieren beide Seiten gleichzusetzen?

01.10.2014, 14:46

Stephan Kulla

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Ich meinte folgende zwei Fälle

1) x und y haben dasselbe Vorzeichen
2) x und y haben verschiedene Vorzeichen

Im ersten Fall ist beispielsweise |x+y|=|x|+|y|... Dies musst du dann natürlich auch beweisen...

PS: Fall 2 kannst du einfach auf Fall 1 zurückführen...

01.10.2014, 16:27

Hammy27

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Ok, fann definiere ich also für den Fall 1:

$\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{R}_+\ oder\ x,y \in \mathbb{R}_- \end{eqnarray*}$

Für die Addition können wir einfach zeigen dass für alle x,y gilt

$\begin{eqnarray*} |x|+|y| = |x+y| \end{eqnarray*}$ , da wenn x,y >0 der Wert des absoluten Betrages der Summe gleich gross ist wie der Wert der Summe der einzelnen absoluten Beträgen. Dies gilt ebenso für x,y <0. Z.B. x= -3 und y= -5 dann ist:
$\begin{eqnarray*} |-3|+|-5| =|-3+(-5)|=8 \end{eqnarray*}$

Bei der Subtraktion müssen wir zeigen dass für alle x,y gilt:
$\begin{eqnarray*} ||x|-|y||=|x-y| \end{eqnarray*}$
Wenn x,y>0 gilt $\begin{eqnarray*} |x-y|=|x-y| \end{eqnarray*}$ , was ja das selbe ist.
Für x,y<0 setzen wir wieder wie oben ein x=-3 und y=-5. Dann ist:
$\begin{eqnarray*} ||-3|-|-5|| =|-3-(-5)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |3-5| =|-3+5| = 2 \end{eqnarray*}$ womit wir dies auch gezeigt hätten.

a) Kann man das so aufschreiben?
b) Wie komme ich nun auf wenn x>0, dann y<0 et vice versa? Könnte man hier z.B. annehmen dass y=(-1)x?

01.10.2014, 17:47

Stephan Kulla

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x|+|y| = |x+y| \end{eqnarray*}$ , da wenn x,y >0 der Wert des absoluten Betrages der Summe gleich gross ist wie der Wert der Summe der einzelnen absoluten Beträgen.

Je nach Korrektor könnte dies ausreichen oder nicht. Die Begründung ist richtig. Jedoch wendest du nicht direkt die Definition des Betrags oder bereits bewiesene Sätze für den Betrag an. Für mathematische Beweise sind aber intuitive Erklärungen nicht ausreichend. Du darfst nur bereits bewiesene Sätze oder bekannte Definitionen benutzen. Deswegen könnte ein Korrektor hier Punkte abziehen. Ich würde schreiben:

Für x,y >= 0 ist: $\begin{eqnarray*} |x|+|y| = \max\{x,-x\} + \max\{y,-y\} = x + y = \max\{x+y,-x-y\} = |x+y| \end{eqnarray*}$

Hier wird direkt die Definition $\begin{eqnarray*} |a|=\max\{a,-a\} \end{eqnarray*}$ angewandt (wenn ihr eine andere Definition hattet, dann musst du natürlich diese verwenden).

Zitat:

Dies gilt ebenso für x,y <0. Z.B. x= -3 und y= -5 dann ist: $\begin{eqnarray*} |-3|+|-5| =|-3+(-5)|=8 \end{eqnarray*}$

Da du $\begin{eqnarray*} |x+y|=|x|+|y| \end{eqnarray*}$ für alle x,y < 0 beweisen musst, reicht es nicht aus den Beweis nur für bestimmte Zahlen für zu x und y zu führen. Du musst allgemeine x,y < 0 nehmen. Du kannst diesen Fall aber auf den obigen Fall zurückführen (wähle einfach a=-x und b=-y, dann ist bswp. x=-a mit a > 0)

Zitat:

Wenn x,y>=0 gilt $\begin{eqnarray*} |x-y|=|x-y| \end{eqnarray*}$ , was ja das selbe ist.

Hier würde ich schreiben:

Wenn x,y>0 ist, gilt |x|=x und |y|=y und damit $\begin{eqnarray*} ||x|-|y||=|x-y| \end{eqnarray*}$ .

Obiger Satz ist meiner Meinung nach einfacher zu verstehen (Achte bei der Beweisführung, dass diese auch für Dritte, die deine Gedanken nicht kennen, verständlich sein soll. Versetze dich in die Lage eines Lehrers und versuche den Beweis so zu schreiben, dass deine Mitschüler ihn verstehen können, auch wenn sie sich nicht vorher mit dem Satz auseinandergesetzt haben)

Zitat:

Für x,y<0 setzen wir wieder wie oben ein x=-3 und y=-5. Dann ist: $\begin{eqnarray*} ||-3|-|-5|| =|-3-(-5)| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |3-5| =|-3+5| = 2 \end{eqnarray*}$ womit wir dies auch gezeigt hätten.

Auch hier gilt: Du musst den Beweis für alle x,y < 0 führen.

Zitat:

b) Wie komme ich nun auf wenn x>0, dann y<0 et vice versa? Könnte man hier z.B. annehmen dass y=(-1)x?

Deine Idee ist gut. Bedenke, dass wenn du y=-x setzt, du nicht alle Fälle abdeckst (nur die, wo x und y gleichen Betrag haben, also zum Beispiel nicht x=2 und y=-5, weil hier $\begin{eqnarray*} y=-5\neq2=x \end{eqnarray*}$ ist). Wähle eine neue Variable, also zum Beispiel y = (-1)a

01.10.2014, 17:49

Hammy27

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Hab die Lösung gefunden! Werde sie heute noch posten wenn ich Zeit finde. Muss das Übungsblatt morgen abgeben.

Habs mit 4 Fallunterscheidungen gemacht:

x,y>0
x,y<0
x>0,y<0, einmal mit |x|>|-y|, einmal mit |x|<|-y| und
x<0,y>0, einmal mit |-x|>|y|, einmal mit |-x|<|y|

Gibt noch ganz nette Umformungen wie ich finde ;-)

Wow... habe eben gesehen dass du dir verdammt viel Mühe gemacht hast. Herzlichen Dank für das, schätze ich sehr! Ich werde die Lösung somit auf jeden Fall noch posten (und hoffe die wird dann auch für gut empfunden).

01.10.2014, 18:00

Stephan Kulla

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Beachte, dass du noch den Fall

x=0 oder y=0

hinzunimmst...

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