Asymptoten ermitteln und Limes - gebrochen rationale Funktion

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MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptoten ermitteln und Limes - gebrochen rationale Funktion
Ich suche die Asymptoten für die folgende Funktion:



Dass zwei senkrechte Asymptoten vorliegen bei x=2 bzw x=-2 ist mir klar. Jedoch muss noch eine schiefe Asymptote vorliegen mit y = x laut der der Graph-Abbildung in meinem Buch (die anscheinend den Gaph auch bei x bzw y = 0 schneidet, was ich überhaupt nicht verstehe?).

Der Limes für meine Funktion lautet ja:

*

Also ergibt sich für mich auf den ersten Blick eher keine schiefe Asymptote? Könnt ihr mir sagen wie hier vorgegangen wurde?



* oo = Unendlich
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

habt ihr denn schonmal besprochen wie man schiefe Asymptoten (Näherungskurven) bestimmt?
Wenn ja, versuche dies hier anzuwenden Augenzwinkern
Stichwort: Polynomdivision oder Umformen des Grenzwertes für x gegen unendlich.

Ob und wo die Schiefe Asymptote den Graphen schneidet ist unerheblich, entscheidend ist das Verhalten des Graphen gegen unendlich.

Hoffe die Tipps bringen dich weiter Augenzwinkern
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort

Zitat:
Original von Rbn
habt ihr denn schonmal besprochen wie man schiefe Asymptoten (Näherungskurven) bestimmt?


Ich weiß nur wie man schiefe Asyptoten mithilfe der Grenzwertberechnung nachweisen kann. Was aber meinst du genau mit Näherungskurven? Den Graph der sich unendlich der Asymptote annähert?


Zitat:
[i]Stichwort: Polynomdivision oder Umformen des Grenzwertes für x gegen unendlich.


Was meinst du exakt mit der Polynomdivision beim Grenzwert? Als Grenzwert erhalte ich doch 00 (=Unendlich) ? Oder ist das nicht korrekt?


Deine Grenzwertebestimmung am Ende kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen. Was geanu ist e und was k[ ?
Ich habe das Gefühl, dass ich noch gar nicht ausreichend Kenntnisse verfüge um diese Aufgabe lösen zu können
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meine ich mit Näherungskurve. Und da y=x eine ,,sich im unendlichen annähernde" Funktion ist, passt das hier obwohl, es sich dabei zugleich eine um ,,schiefe" Asymptote handelt.

Wenn du nicht weißt, was eine Näherungskurve ist, vergisst du das mit der Polynomdivision Augenzwinkern

Dann setze ich hier mal deinen Ansatz, über den Grenzwert, fort sodass du vielleicht siehst worauf es hinaus läuft:



Die ,,Grenzwertbestimmung" ist meine Signatur. Hat mit deiner Rechnung garnichts zu tun Augenzwinkern

LG, Rbn
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade Probleme mit Latex und habs daher extern bearbeitet.

Ich bin mir nicht sicher ob das nun so stimmt:
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptoten ermitteln und Limes - gebrochen rationale Funktion
Zitat:
Original von MathePauker

*



Das versteh ich nicht. Man kann doch den Term nicht einfach verändern und die 4 im Nenner weglassen. Gut, das ändert am Ergebnis zwar nichts, aber trotzdem.

Eine Polynomdivision würde hier für Klarheit sorgen:



wiederum ist der uneigentliche Limes = , was aber niemanden interessiert.
Die Asymptote y=x ist aber ablesbar, denn



ist evident.
 
 
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap:
Entschuldige, ich war ca 2 Wochen verreist und konnte daher nicht auf dein letztes Posting eingehen.

Ich kann deine Polynomdivision nicht ganz nachvollziehen. Wie kommst du denn zu dem Ausdruck



?
Errate ich die erste Nullstelle für x³-x wäre das ja x= 0 ?

Ich habe nun endlich eine Musterlösung vorliegen, kann diese aber nicht wirklich nachvollziehen. Ich hänge sie einfach mal an:

Könnt ihr das alles nachvollziehen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



siehst du jetzt die grüne Asymptote ?

zur Polynomdivision googelst du mal, das ist optisch schwer darzustellen.



und da ist, ist x die Asymptote.

Das steht sinngemäß auch auf deinem Blatt.
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es sich um eine schiefe Asymptote handeln muss dachte ich mir schon bereits.
Aber nochmal zu der Sache mit der Polynomdivision. Führe ich für die Funktion die Polynomdivision durch, erhalte ich . Es muss doch aber auch logischerweise ein Produkt/Faktor daraus entstehen? Wie kommst du aber auf ? Wie soll aus einem mit Hilfe der Polynomdivision umgeformten Bruch eine Addition/Summe entstehen?

Was hat es denn mit dem Teil in meiner Musterlösung auf sich in dem es heißt:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
"dann folgt für große |x|:



weil

"
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
?

Ich habe enorme Probleme den Lösungsweg zum Ermitteln von schiefen Asymptoten zu verstehen.
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

KOMMANDO ZURÜCK!

Jetzt habe ich verstanden was du meinst mit der Polynomdivision. Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen den Zähler ( x³-x) nur um zu formen. Aber du meintest eine einfache Division von (x³-x) : (x²-4) richtig? Also eine "tatsächliche" Polynomdivision mit Rest. Nun bin ich also auch auf die Darstellung gekommen. Wenn ich aber nun die Grenzwertberechnung penibel anwende, so müsste es doch lauten:



Weil x in der Grenzwertbetrachtung x gegen Unendlich doch Unendlich wiederum ist? Oder habe ich da wieder einen Denkfehler?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Dass f(x) keinen Grenzwert hat, ist nun hinlänglich bekannt. Das geht auch ohne Polynomdivision.

Das ist aber nicht gefragt. Für die Asymptote ist wichtig, dass die Differenz zwischen f(x) und y=x ( Rot minus Grün ) nach Null strebt.

Und diese Differenz ist der 2. te Summand in der Dividierten Form von f(x) , und dieser strebt, wie richtig gesehen, nach Null.
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap Für die Asymptote ist wichtig, dass die Differenz zwischen f(x) und y=x ( Rot minus Grün ) nach Null strebt.


Könntest du das an diesem Beispiel schriftlich darstellen? Ich bin etwas irritiert dass du jetzt von einer Differenz sprichst? [f(x) - (y=x)] im Limes muss gegen Null streben?

Nocheinmal zu meinem Lösunsblatt:
wie komme ich denn zu dem Ausdruck: bzw ? Ich nehme an dass mit die Betrachtung im Limes gemeint ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nocheinmal zu meinem Lösunsblatt:
wie komme ich denn zu dem Ausdruck: bzw ? Ich nehme an dass mit die Betrachtung im Limes gemeint ist?


so ist es. Das Lösungsblatt ist hier eben ein wenig schwammig.

Sowas sollte nicht auf einem Lösungsblatt stehen, allenfalls auf einem Schmierzettel der als Argumentationshilfe dient.

und: ein Minus ist das Symbol einer Differenz.
MathePauker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube jetzt hab ich's:

Danke für deine Hilfe!
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