Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen

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Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Meine Frage:
Jede natürliche Zahl (>0) denke man sich eineindeutig in einer Teilfolge.
Also jede natürliche Zahl kommt in einer Teilfolge vor und nur einmal in dieser Teilfolge. Alle Teilfolgen enthalten unterschiedliche Zahlen.
Dabei sei die Teilfolge endlich oder unendlich.
Frage:
Angenommen eine Teilfolge sei unendlich und ich betrachte eine konkrete Zahl dieser Folge. Kann ich mit den Voraussetzungen schliessen, dass diese Zahl der Folge nur endlich viele Vorgänger in der Teilfolge hat?

Meine Ideen:
Ich denke aufgrund der abzählbaren Mächtigkeit der natürlichen Zahlen sollte der Schluss auf endlich viele Vorgänger in der Teilfolge richtig sein.
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Hmm ich bin nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstanden habe.
Meinst du mit Vorgänger einer Zahl einfach alle Zahlen die kleiner sind als diese konkrete Zahl?
Wenn ja, dann muss die Anzahl der Vorgänger, die in derselben Teilfolge liegen doch sowieso
endlich sein, aber das scheint mir zu einfach. Kannst du deine Frage konkretisieren?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Schon einmal Danke für die Bemühung! :-)

Also, eine "Ordnung" in den Teilfolgen soll nicht vorausgesetzt werden. Es müssen nur alle natürlichen Zahlen eindeutig in einer Teilfolge enthalten sein, unterschiedliche Teilfolgen enthalten ebenso unterschiedliche Folgenglieder.

Ein konkretes Beispiel einer solchen Teilfolgen"zerlegung" könnte sein:

F1=2,1

F2=...,123239,967623,3943,.. (Zahl ungerade und > 2)

F3=...,3453456,2394292,83458434,... (zahl gerade und >2)

hat zB. 2394292 endlich viele Vorgänger in F3?

Meine Frage soll aber allgemein für beliebige Teilfolgen gelten, insbesondere für eine Folge unendlich vieler Teilfolgen!
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Ok die Unordnung bringt natürlich einiges durcheinander (kein absichtliches Wortspiel).

Vielleicht ist dieses Gegenbeispiel für dich interessant:

Betrachte irgendeine Teilfolge ungerader Zahlen und eine unendliche Teilfolge der geraden Zahlen . Dann kann man eine Teilfolge der natürlichen Zahlen erstellen die die folgende Form hat . Diese neue Teilfolge ist unendlich und jedes Element aus hat in dieser Menge unendlich Vorgänger.

Die Voraussetzung der eindeutigen Einteilung in Teilfolgen ist hierbei nicht verletzt.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Bin mir noch nicht ganz sicher, aber deine Antwort hat wohl andere Voraussetzungen.
Wichtig ist mir eine "Zerlegung" aller natürlichen Zahlen in Teilfolgen, insbesondere sollen die Folgenglieder natürliche Zahlen sein. Was ich suche ist eine Antwort über die Vorgänger in einer möglichen unendlichen Teilfolge natürlicher Zahlen..
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Welche anderen Voraussetzungen?
Zeigt das Beispiel nicht, dass die Aussage für unendliche ungeordnete Teilfolgen der natürlichen Zahlen falsch ist?
 
 
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Folge aller natürlicher Zahlen in Teilfolgen
Hallo, danke nochmals für dein Beispiel!
Nach nochmaligem Überdenken erscheint mir deine Antwort als wahr, aber auch falsch ;-)
Vor dem Hintergrund der Voraussetzungen ist sie falsch, weil bei "klassischen" Folgen, jedes Folgenglied nur endlich viele Vorgänger haben kann!
Warum? Weil eine "klassische" Folge eine Funktion über der Menge der natürlichen Zahlen ist und diese wohlgeordnet, abzählbar und nach unten beschränkt ist.
Das gilt auch für die vorausgesetzten Teilfolgen. Diese haben also auch endlich viele Vorgànger zu jedem Folgeglied!
Die konstruierte Folge als solches ist jedoch keine "klassische", weil die Quellmenge nicht mehr die natürlichen Zahlen sind und deren Mächtigkeit grösser ist.
Ich denke, man nennt dies eine "transfinite Folge".
Und für eine solche "transfinite Folge" ist dein Gegenbeispiel wahr, aber nicht für jede Teilfolge, weil diese "klassisch" ist.
Einspruch? smile
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