Grenzwert

01.10.2014, 19:30

AnalysisVorbereitung

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Grenzwert

Hallo,

ich bereite mich gerade auf meine Analysis Nachklausur vor und komme bei einer Aufgabe absolut nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}sin (\frac{1}{x}) }{\sin(x) } \end{eqnarray*}$

Es soll x von oben gegen 0 laufen, das habe ich beim Formeleditor nicht gefunden.

Ideen: Ich hätte ja gesagt, dass x^2 im Zähler gegen 0 geht und damit der ganze Zähler, aber dann würde der Nenner ja auch gegen 0 laufen.
Ein Freund meinte zu mir, dass ich L'Hospital anwenden sollte, allerdings hatten wir das noch nicht, weshalb wir das auch nicht anwenden sollen.
Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich weiter da ran gehen soll. Ich hoffe, dass mir hier jemand mit Hilfe zur Seite stehen kann von euch Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2014, 19:50

Iorek

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Schreibe dir den Ausdruck als $\begin{eqnarray*} \frac{x^2\sin(\frac 1x)}{\sin(x)}=\frac{x}{\sin(x)}\cdot x\sin(\frac 1x) \end{eqnarray*}$ . Hier solltest du einerseits einen bekannten Grenzwert erkennen, andererseits den Grenzwert einfach bestimmen können.

01.10.2014, 21:01

AnalysisVorbereitung

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Vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber mir hilft das gerade nur wenig weiter. Wenn ich jetzt ein sehr kleines x, was sich sehr nahe der 0 befindet, einsetze, dann konvergiert mein x doch trotzdem gegen 0 und beim sin (1/x) konvergiert das gegen unendlich und somit der ganze Ausdruck ja wieder gegen 0.

01.10.2014, 21:12

Dopap

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zum Latex:

Zitat:

Original von Iorek
Schreibe dir den Ausdruck als $\begin{align*} \lim_{x \searrow 0}\frac{x^2\sin(\frac 1x)}{\sin(x)}=\lim_{x \searrow 0}\frac{x}{\sin(x)}\cdot x\sin(\frac 1x) .... \end{align*}$

code:
1:	\lim_{x\searrow 0}

der andere Pfeil:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0} \end{eqnarray*}$

code:
1:	\lim_{x\nearrow 0}

01.10.2014, 21:14

Iorek

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Ich kann deine Begründungen gerade nicht ganz nachvollziehen. Was soll gegen 0 konvergieren? Und einfach durch einsetzen von "kleinen x nahe 0" bekommst du eh keine Aussage über den Grenzwert, der sollte anderweitig und genauer begründet werden.

02.10.2014, 07:52

AnalysisVorbereitung

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Wie denn das? Ich habe bisher immer im Prinzip "eingesetzt" und geguckt, was dabei raus kommt. Wie gehe ich denn sonst da vor? Sorry, Grenzwerte bei Funktionen bereiten mir echt Probleme.

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02.10.2014, 09:22

Iorek

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Ihr habt doch bestimmt Möglichkeiten zur Grenzwertberechnung kennengelernt? Es gibt einige Standardgrenzwerte die man kennen muss, dann gibt es die Grenzwertsätze als wichtiges Hilfsmittel. Beides ist hier erforderlich. Was bei der Aufgabe noch zusätzlich wichtig ist, ist die Beschränktheit des Sinus. Diese kannst du ausnutzen.

02.10.2014, 11:19

AnalysisVorbereitung

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Also, wir haben drei Möglichkeiten kennengelernt: Entweder zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < Epsilon \end{eqnarray*}$ , erschließe mir den Grenzwert durch das Sandwichlemma oder Klammer etwas sinnvoll aus bzw. schätze ab.

Als Standardgrenzwert fällt mir zu dieser Aufgabe nur diese hier ein: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) }{x} \end{eqnarray*}$ , allerdings ist das ja der umgekehrte Fall und für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 0} x \end{eqnarray*}$ kenne ich zudem keine Standardgrenzwerte.

Was ich über den Sinus weiß, ist, dass er durch 1 und -1 beschränkt ist.

02.10.2014, 11:37

Iorek

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Damit hast du alles notwendige. Dass wir hier den Grenzwert von oben gegen 0 betrachten, macht für $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ keinen Unterschied. Und um das in deiner Aufgabe auf diese Form zu bringen, könntest du mit dem Kehrwert arbeiten.

Was den zweiten Teil angeht, so kannst du das Sandwichlemma von Folgen leicht abgeändert übertragen und auch auf $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\downarrow 0}x\sin(\frac 1x) \end{eqnarray*}$ anwenden. Hier wird dann die Beschränktheit des Sinus nützlich werden.

02.10.2014, 11:40

AnalysisVorbereitung

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Ok, danke

smile

Ich werde mich mal dran versuchen und später wieder melden, ob was halbwegs Ordentliches bei rum gekommen ist Wink

Wink

02.10.2014, 16:01

AnalysisVorbereitung

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Ich komme immer noch auf 0.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x) } \end{eqnarray*}$ konvergiert ja gegen 1 für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ , also anscheinend ja auch für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 0} \end{eqnarray*}$ .
Aber $\begin{eqnarray*} x*\sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert für mich gegen 0.

Also konvergiert die Funktion im Gesamten gegen 0.

02.10.2014, 16:10

Iorek

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Zunächst mal: 0 ist korrekt. Aber: wie würdest du das begründen? Warum genau konvergiert $\begin{eqnarray*} x\sin(\frac 1x) \end{eqnarray*}$ gegen 0?

02.10.2014, 16:19

AnalysisVorbereitung

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Also, ich weiß ja, dass sich der Sinus zwischen -1 und 1 bewegt und somit erstmal keinen Grenzwert hat. Demnach hat auch $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ keinen Grenzwert, jetzt kommt das x ins Spiel, das für beliebig nahes (von oben) Herantreten an die 0 gegen 0 konvergiert.

Ich weiß nicht genau, wie ich das besser ausdrücken soll, was ich meine. Die abgewandelte Version des Sandwichlemmas erschließt sich mir hier noch nicht so ganz.

02.10.2014, 16:32

Iorek

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In welchem Rahmen schreibst du denn die Analysisklausur? Solche Sachen sollten eigentlich in den Übungen besprochen worden sein...

Der Sinus gibt dir eine Möglichkeit, den ganzen Ausdruck nach unten bzw. oben abzuschätzen. Mit $\begin{eqnarray*} 0\leq |x\sin(\frac 1x)|\leq x \end{eqnarray*}$ kann man dann den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\downarrow 0} x\sin(\frac 1x) \end{eqnarray*}$ auch sauber begründen.

02.10.2014, 16:43

HAL 9000

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Oder man betrachtet gleich die gesamte Nullumgebung (d.h. beidseitig), in dem man dort

$\begin{align*} 0\leq \left| x\sin\left( \frac{1}{x} \right) \right| \leq |x| \end{align*}$ ,

oder alternativ ohne Betrag in der Zielfunktion dann

$\begin{align*} -|x| \leq x\sin\left( \frac{1}{x} \right) \leq |x| \end{align*}$

nutzt.

02.10.2014, 17:05

AnalysisVorbereitung

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Ok, vielen Dank! Es ist eine Analysis I Nachschreibklausur für alle Mathematiker.

02.10.2014, 17:23

Iorek

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Dann würde ich dir zumindest nach der Klausur empfehlen, dich mit den Formalia der Grenzwerte noch einmal vertraut zu machen und diese nachzuarbeiten. Gerade als Mathematiker sollte man sich da recht sicher bewegen. Viel Erfolg für die Klausur!

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