Euler-MacLaurin

01.10.2014, 22:23	mathemensch123	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-MacLaurin Ich soll eine Variante der Euler Mac Laurin-Formel zeigen, dachte auch, ich hätte es, da fiel mir auf, dass das nur fast so aussieht wie es aussehen soll... Also: Es seien $\begin{eqnarray} b_1(x)=x-\lfloor x \rfloor - 1/2 ,M,N \in \mathbb{Z}, M\leq N \end{eqnarray}$ . Außerdem sei f eine glatte Funktion. Zeige dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=M}^N f(n)= \int_M^N f(x) dx + 1/2(f(M)+f(N)) + \int_M^N f'(x)b_1(x) dx \end{eqnarray}$ . Eigentlich dachte ich, ich mache einfach folgendes: $\begin{eqnarray} b_1'(x)=1 \end{eqnarray}$ in jedem Intervall der Länge 1. Damit ist mit partieller Integration $\begin{eqnarray} \int_n^{n+1} f(x) dx =[b_1(x)f(x)]^{n+1}_n - \int_n^{n+1}f'(x)b_1(x) dx = 1/2(f(n)-f(n+1)) - \int_n^{n+1}f'(x)b_1(x) \end{eqnarray}$ . Bilden wir nun die Summe erhalten wir $\begin{eqnarray} \sum_{n=M}^{N-1}\int_n^{n+1} f(x) dx = 1/2(f(M)-f(N)) - \sum_{n=M}^{N-1}\int_n^{n+1} f'(x)b_1(x) dx = \int_M^N f(x)dx =1/2(f(M)-f(N)) - \int_M^N f'(x)b_1(x)dx \end{eqnarray}$ , umgeformt ergibt das $\begin{eqnarray} \int_M^N f(x) dx + 1/2(f(N)-f(M)) + \int_M^N f'(x)b_1(x) dx =0 \end{eqnarray}$ , damit die Behauptung stimmt, müsste also $\begin{eqnarray} f(M)=\sum_{n=M}^N f(n) \end{eqnarray}$ sein, kann also nicht stimmen Sieht jemand den Fehler?
01.10.2014, 23:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euler-MacLaurin Die partielle Integration ist falsch, weil $\begin{align} b_1 \end{align}$ nicht einmal stetig ist.
02.10.2014, 01:19	mathemensch123	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, auf dem Intervall (n,n+1) ist die Funktion stetig, insgesamt ist sie stückweise stetig und auch stückweise integrierbar - sonst wäre die Aufgabenstellung ja auch Humbug (wenn man b_1 nicht integrieren könnte...).
02.10.2014, 01:34	mathemensch123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Folgendes: Es würde alles passen, wenn ich quasi auf dem Intervall [n,n+1] die Funktion wiefolgt betrachte $\begin{eqnarray} \tilde{b}_1(x)=x-n-1/2 \end{eqnarray}$ . Im Integral ist diese Funktion dieselbe wie $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ , da nur der Funktionswert am rechten Rand geändert wird. Geht das so?
02.10.2014, 08:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
so hätte ich es jedenfalls gemacht

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »