Skalarprodukt: Herleitung

01.10.2014, 23:14

Bonheur

Skalarprodukt: Herleitung

Guten Abend.
Wir haben in der Schule das Thema:"Skalarprodukt" besprochen und es wurde gesagt, dass wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren null beträgt, dann stehen sie senkrecht zueinander.
Es wurde allerdings nicht erklärt, warum dies der Fall ist und deshalb wollte ich dem auf den Grund gehen.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[attach]35550[/attach]

Wir wenden den Satz des Pythagoras an und im rechtwinkligen Dreieck gilt: $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}=c^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right|\right)^{2}+\left(\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|\right)^{2}=\left(\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right|\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1}+\sqrt{1}=(-1)^{2}+1=2 \end{eqnarray*}$

Dadurch das die Gleichheit vorhanden ist, wurde damit bestätigt, dass die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Nun wollte ich überprüfen, wie es allgemein aussieht.
$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\left|\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\right|\right)^{2}+\left(\left|\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right|\right)^{2}=\left(\left|\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\right|\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_{1})^{2}+(y_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(y_{2})^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_{1})^{2}+(y_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(y_{2})^{2}=(x_2)^{2}-2 \cdot x_{2} \cdot x_1 + (x_{1})^{2}+(y_2)^{2}-2 \cdot y_{2} \cdot y_1 + (y_{1})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-2 \cdot x_{2} \cdot x_{1}-2 \cdot y_{2} \cdot y_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-2 \cdot \left(x_{2}\cdot x_{1} + y_{2} \cdot y_{1} \right) \end{eqnarray*}$

Nun zu meinem Problem, leider erkenne ich hier keinen Zusammenhang. Es sei denn: Ich habe einen Fehler gemacht.

Vielen Dank.

01.10.2014, 23:19

Helferlein

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Hast Du nicht, aber könntest Du die Klammer nicht noch ein wenig anders schreiben? Am besten mit Hilfe von Vektoren...

01.10.2014, 23:26

Bernhard1

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Zwei Vektoren stehen dann aufeinander senkrecht, wenn der durch die Vektoren eingeschlossene Winkel gleich pi/2 ist und mit etwas Trigonometrie kann man vom Skalarprodukt auf den Winkel schließen.

Man darf dabei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) den einen Vektor parallel zur positiven x-Achse annehmen, damit die Rechnung übersichtlich bleibt Augenzwinkern

01.10.2014, 23:33

Bonheur

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

$\begin{eqnarray*} 0=-2 \cdot \left(\begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich, wie diese null zustande kommt. d.h dass die -2 keine Rolle spielt, weil wenn man durch zwei dividiert, bleibt die Gleichheit noch vorhanden.
Könnte man auch den ganzen Fall betrachten, wenn die Vektoren nicht zueinander senkrecht stehen ?

01.10.2014, 23:45

Helferlein

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Setz doch mal den allgemeinen Cosinussatz anstelle des Satzes von Pythagoras ein. Das sollte zum Ziel führen.

01.10.2014, 23:45

Bernhard1

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Zitat:

Original von Bonheur
Könnte man auch den ganzen Fall betrachten, wenn die Vektoren nicht zueinander senkrecht stehen ?

Wie gesagt: Verwende $\begin{eqnarray*} \vec{v_1} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v_2} = \begin{pmatrix} b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechne den Winkel zwischen diesen Vektoren mit Trigonometrie (sin, cos, usw.)

01.10.2014, 23:54

Bonheur

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Vielen Dank euch allen.

Ich muss jetzt schlafen, weil ich morgen zur Schule muss, werde morgen versuchen es herzuleiten.

Gute Nacht. Wink

02.10.2014, 02:10

mYthos

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@Bernhard1

Es entspricht nicht den Boardregeln, in einen laufenden Thread einzugreifen, wenn sich bereits ein Helfer mit dem Thema beschäftigt.
Es kann nämlich sein, dass dieser dennoch online ist, auch wenn er als offline angezeigt wird (--> Geistmodus). Ist mir heute auch schon aufgefallen ..
Am besten du wartest noch einige Zeit, wenn sich dann weiterhin nichts mehr tut, dann kannst du Hand anlegen.

@Helferlein: Das kommt davon Big Laugh

mY+

02.10.2014, 07:29

Bernhard1

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Zitat:

Original von mYthos
Es entspricht nicht den Boardregeln, in einen laufenden Thread einzugreifen, wenn sich bereits ein Helfer mit dem Thema beschäftigt.

OK. Das ist mir bisher entgangen. Danke für den Hinweis.

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