Fortsetzung der Zeta-Funktion

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mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »
Fortsetzung der Zeta-Funktion
Hallo zusammen,

ich habe bereits gezeigt, dass für folgende Gleichheit gilt:

,

wobei die Funktionen quasi Bernoullipolynome sind sehr ähnlich sind (falls ihr das genauer wissen wollt, fragt kurz, dann bring ich die Definition dieser Funktionen).

Ich soll nun zeigen, dass das eine analytische Fortsetzung der Zetafunktion in die Halbebene gibt.

Meine erste Frage ist relativ simpel: Was genau muss ich dafür zeigen? Meines Erachtens "nur" dass das Integral konvergiert?

Meine zweite Frage: Wie kann ich das zeigen?
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich nochmal eingehend damit befasst, was man noch wissen muss (bereits gezeigt): Die Funktionen haben Periode 1 und es gilt .

1. Frage: Kann ich dann sagen, dass diese Funktionen beschränkt sind (wären sie es nicht, wäre das Integral ja nicht endlich, oder)?

Damit kann ich dann zeigen, dass das Integral gerade für die gewünschte Bedingung konvergiert.

2. Frage: Reicht das für den Beweis der Behauptung aus?
derdickederbande Auf diesen Beitrag antworten »
Zeta
Hallo mathemensch,

Nachdem hier keiner antwortet versuch ichs mal:
Zunächst ist mir nicht ganz klar, was für den Summationsindex bedeutet.
Meinst du damit, dass nur über ungerade j summiert wird?
Aber für die Antworten ist das eh nicht relevant.
Unter der Voraussetzung, dass die von dir gezeigt Identität korrekt ist, genügt es
tatsächlich zu zeigen, dass die Integrale konvergieren, denn dann hast du einen analytischen Ausdruch für in der Halbebene und nach dem Identitätssatz ist das die Fortsetzung von .
Dass der Ausdruck analytisch ist, folgt sofern die Integrale konvergieren aus den popligsten Aussagen über Diffbarkeit von Parameterintegralen.
Ja und die Konvergenz folgt aus der Beschränktheit der und aus .

Sollte also alles passen...
derdickederbande Auf diesen Beitrag antworten »
Ps
Eigentlich gehört die Frage auch ins Analysis-Forum.
Vielleicht kann sich ein Moderator dem annehmen?
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, problem gelöst!
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