Beweis Absolutbetrag

02.10.2014, 17:06

HelloWorld19

Beweis Absolutbetrag

Meine Frage:
Hallo,

habe folgende Aufgabe

Beweisen Sie dass $\begin{eqnarray*} |x|+|y|+||x|-|y||=|x-y|+|x+y| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich habe bis jetzt folgendes überlegt
$\begin{eqnarray*} |x|+|y|+||x|-|y||=|x-y|+|x+y| |x|+|y|-|x+y|=|x-y|-||x|-|y|| \end{eqnarray*}$
Aus den Regeln für den Absolutbetrag $\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq||x+y| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-y|\geq||x|-|y|| \end{eqnarray*}$
Folgere ich $\begin{eqnarray*} |x|+|y|-|x+y|\geq 0 |x-y|-||x|-|y||\geq 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} \geq 0=\geq 0 \end{eqnarray*}$

Doch das ist kein Bewei

02.10.2014, 19:22

Gast11022013

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Mache eine Fallunterscheidung.

1. x,y>0

2. x,y<0

3. x>0 und y<0 bzw. x<0 und y>0 wobei sich das in einem zusammenfassen lässt.

Im Prinzip machst du hier aber generell drei mal hintereinander die selbe Rechnung.

03.10.2014, 00:45

HelloWorld18

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Also für
1.x,y>0 ist es ja trivial
aber für
2.x,y<0?
Stimmt es auch? Versteh nicht wie ich das drehen kann damit es ersichtlich wird dass es stimmt.
durch die Dreiecksungleichung weiss ich ja nur, dass
$\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq|x+y| \end{eqnarray*}$ und dass
$\begin{eqnarray*} |x-y|\geq||x|-|y|| \end{eqnarray*}$
Ist
und wie soll ich 3. Zusammenfassen?

03.10.2014, 01:42

Gast11022013

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Vergiss mal die Dreiecksungleichung. Du möchtest ja eine Gleichheit zeigen.
Eine Ungleichung hilft da nicht besonders.

Der zweite Fall x,y<0 ist eigentlich genau so trivial wie der erste Fall.
Was passiert mit negativen Zahlen im Betrag denn?

03.10.2014, 10:18

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Gmasterflash
1. x,y>0

2. x,y<0

3. x>0 und y<0 bzw. x<0 und y>0 wobei sich das in einem zusammenfassen lässt.

Zur Ergänzung: Es muss auch noch der Fall

4. x=0 oder y=0

betrachtet werden (dieser ist aber nicht besonders schwer zu zeigen...).

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