Variablensubstitution im Grenzwert

02.10.2014, 19:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Variablensubstitution im Grenzwert es kommt schon mal vor, dass man einen Grenzwert wie $\begin{eqnarray} L=\lim_{x \downarrow 0} x \cdot exp(\tfrac 1x) \end{eqnarray}$ jemanden näherbringen muss. Oft wird argumentiert, dass der Faktor x das Produkt "auf jeden Fall" zu Null gehen lässt. Nun, viele sind mit den Grenzwerten mit x gegen Unendlich von den Asymptoten rationaler Funktionen her eher vertraut. Deshalb die Substitution $\begin{align} v=\frac 1 x : \quad \Rightarrow \end{align}$ $\begin{eqnarray} L=\lim_{v \to \infty}\frac {e^v}{v}=\infty \end{eqnarray}$ Es ist eben bekannter, dass die Exponentialfunktion stärker als jede Potenz wächst. gibt es da Einwände , Bemerkungen ?
26.03.2024, 21:42	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergebnisse einer Kurvendiskussion zu $\begin{eqnarray} f \left(x\right) := x \cdot e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ könnten daneben beim Erklären helfen. Im 1. Quadranten findet man einen Tiefpunkt, dessen Funktionswert bereits positiv ist. Von dort aus in Richtung $\begin{eqnarray} x \to 0+ \end{eqnarray}$ sollten Funktionswerte daher größer werden.
27.03.2024, 08:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das wurde ja auch mal Zeit, dass sich jemand um Dopaps fast zehn Jahre alte Anfrage kümmert!
12.04.2026, 12:08	yogibär	Auf diesen Beitrag antworten »
Du fühst die Substitution ein z := 1/x ( 1 ) Und dann wird x exp ( 1/x ) , x ===> 0 ( 2a ) zu ( 1/z ) exp ( z ) , z ===> ( °° ) ( 2b ) Es kam im ZDF Studienführer. Und auch mein Chef in unserer IT Klitsche hat es betont. Welche Berufsaussichten bietet dir der Mathe Studienabschluss? Nur die aller besten. Nicht, weil du etwa etws beweisen kannst. Sondern weil jede Perso weiß, das du FALLUNTERSCHEIDUNG gelernt hast. Z.B. erinnere ich mich gut. wie mir mein Chef ( Mathe Köln ) alle Möglichkeiten vor kaute, wie mein Listing abschmieren könne. Meine Ehren volle Aufgabe: Ich solle ihm wenisten sagen, welche Aktionen bei jedem Absturz aus zu lösen seien ... Also machen wir hier mal eine Fallunterscheidung. Geht x gegen Plus oder Minus Null; z gegen Plus oder Minus Unendlich? Im Falle ( + °° ) in ( 2b ) brettern wir auf die Krankenhausregel ( + °° ) / ( + °° ) , da ja die e_Fkt. gegen ( + °° ) geht. Das z im Nenner verschwindet, die e_Fkt. überlebt. Das Ergebnis geht asymptotisch gegen ( + °° ) wie die e_Fkt. Anschaulich auch klar, weil die e_Fkt. stärker wächst als jedes Polynom. Dagegen wenn z ===> ( - °° ) , sieht die Sache schon ganz anders aus; beide Faktoren sind beschränkt. ( 1/z ) geht gegen Minus Null. Und da die e_Fkt. stets positiv ist, strebt sie gegen ( + 0 ) Ergo a tergo ist der Grenzwert ( - 0 ) Mal nach x rückübersetzt. Deine Fkt. ( 2a ) erweist sich bei x0 = 0 nicht stetig ergänzbar. Von Links geht sie gegen ( - 0 ) , von Rechts divergiert sie. Und jetzt stell dir mal eine Folge vor, die ständig zwischen Plus und Minus springt - nicht auszudenken ... Irgendwo habe ich auch noch im Hinterkopf, dass wenn du Fkt. ( 2a ) analytisch fort setzt nach \|C , sich dann x0 = 0 als ===> wesentl.Singularität erweist. Ich selbst hab übrigens schon mal eine 3 D Software mit verdeckten Kanten entwickelt. Gleich als erstes hab ich so kopmplex Funktionen wie ( z ² ) ode sin ( z ) raus geplottet, um das Maximumprinzip zu veranschaulichen. Vielleicht hast du ja die Möglichkeeit, dein ( 2a ) auf dem 3 D Plotter raus zu plotten?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »