Existenzaussage Unklarheit

02.10.2014, 20:29

crillez

Existenzaussage Unklarheit

Meine Frage:
Es stehe x für Katze, und P(x) sei das Prädikat x hat Schnurrhaare. Schreiben Sie jede der folgenden Aussagen in symbolischer Form:

(b) Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \exists x(nicht P(x)) \end{eqnarray*}$ heisst gemäss Lösung:
Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat.
Warum weis man das es eine Katze ist?

Warum nicht??
$\begin{eqnarray*} \exists x(P(x)) \end{eqnarray*}$
...würde für mich bedeuten. Es gibt Katzen die Schnurrhaare haben.

$\begin{eqnarray*} \exists x(nicht P(x)) \end{eqnarray*}$

...würde für mich bedeuten. Es gibt Katzen die keine Schnurrhaare haben.

02.10.2014, 20:55

adiutor62

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RE: Existenzaussage Unklarheit
Bei b) und c) wird die Negation der Aussage verlangt.

02.10.2014, 21:19

Nofeykx

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@audiutor: Hast du dir die Situation überhaupt richtig angeschaut? Ich kann beim besten Willen keinen Nutzen in deiner Antwort erkennen. Die Musterlösung gibt nämlich bei b) weder die Aussage, noch deren Negation an. Da ist halt einfach die Musterlösung falsch. Da allerdings bei c) auch nicht die Negation hingeschrieben wurde, gehe ich davon aus, dass es eine Zusatzaufgabe ist, die Negation hinzuschreiben und dies vorerst die Formalisierung der Aussagen sein soll (ohne Negation).
Die Negation kommt erst danach in dem Text.

@crillez:

Ich gehe stark davon aus, dass es bei b) heißen soll: Es gibt eine Katze, die keine Schnurrhaare hat. Dann stimmt nämlich der Rest. Deswegen ist deine Anmerkung zu b) vollkommen richtig.

Zur c): Die Aussage etwas umformuliert heißt doch: Für alle Katzen x gilt: x hat keine Schnurrhaare, einverstanden? (Damit sollte die Formalisierung klarer werden)

Das was du hingegen schreiben möchtest heißt doch

Folgendes gilt nicht: Alle Katzen haben Schnurrhaare.

Das heißt aber genauso viel wie: Es gibt Katzen ohne Schnurrhaare.
Das ist offensichtlich etwas anderes als "Keine Katze hat Schnurrhaare".

02.10.2014, 22:33

crillez

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Hallo zusammen, besten dank für die schnellen Antworten.

Nach langem herumhirnen hab ichs glaub nun gerafft.
Normalerweise helfen mir solche Sätze (mit Katzen und so. Big Laugh

) um die Theorie zu verstehen. Aber in diesem Fall wurde es mir durch die Theorie klarer. Und zwar durch eine Tabelle die Existenzaussagen und Allaussagen verleicht:

Existenzaussagen:
$\begin{eqnarray*} \exists x(A(x)) \end{eqnarray*}$
Negation: $\begin{eqnarray*} nicht(\exists x(A(x))) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} nicht(A(x)) \end{eqnarray*}$

Allaussagen:
$\begin{eqnarray*} \forall x(A(x)) \end{eqnarray*}$
Negation: $\begin{eqnarray*} nicht(\forall x(A(x))) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \exists x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} nicht(A(x)) \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist beides genau gleich aufgebaut einfach die Zeichen vertauscht.

In der Lösung (b) ist es etwas blöd Formuliert:

"Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat"
besser wäre: "Mindestens eine oder mehrere Katzen haben Schnurrhaare."
Das würde der negation entsprechen von "alle Katzen haben Schnurrhaare". Wenn nun oben bei den Allaussagen das zweite Beispiel der Negation anschauen, entspricht das der Lösung.
$\begin{eqnarray*} \exists x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} nicht(A(x)) \end{eqnarray*}$

02.10.2014, 23:59

Nofeykx

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Schön, dass du es verstanden hast Freude

Noch etwas hierzu:

Zitat:

In der Lösung (b) ist es etwas blöd Formuliert:

"Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat"

besser wäre: "Mindestens eine oder mehrere Katzen haben Schnurrhaare."

Nein, das wäre nicht besser, denn deine Formulierung ist länger und enthält trotzdem nur die gleiche Aussagekraft.

"Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat" trifft es dagegen auf den Punkt.

Im Übrigen ist dies auch die Formulierung, die jeder Mathematiker dafür verwenden würde. Es haben sich einfach feste Übersetzungsmuster von Quantorenketten in normale Sprache entwickelt, an die sich (fast) jeder hält. Somit erkennt man auch sofort, welcher Textabschnitt zu welchem Quantor gehört, weil es sehr einheitlich ist. Die Umwandlung geschieht irgendwann im Kopf automatisch.

03.10.2014, 11:34

crillez

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Also ich würde in der Prüfung bei einer solchen Aufgabe folgendermassen vorgehen:

"Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat"

Die obengenannte Existenzaussagen und Allaussagen im hinterkopf haben.
Abwägen welche in Frage kommt.

$\begin{eqnarray*} \exists x(A(x)) \end{eqnarray*}$ kann es nicht sein. Dies würde heissen dass es eine Katze oder mehr sind. Aber es ist nur eine Katze

Jede Aussage und Negation durchgehen.

Es kommt nur eine negierte Allausage in Frage:
$\begin{eqnarray*} Nicht (\forall x(A(x))) \end{eqnarray*}$
Nicht alle Katzen haben Schnurrhaare.

Gleiche Aussage anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \exists x (nicht A(x)) \end{eqnarray*}$

03.10.2014, 12:23

Nofeykx

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Zitat:

"Es gibt eine Katze, die Schnurrhaare hat"

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists x(A(x)) \end{eqnarray*}$ kann es nicht sein. Dies würde heissen dass es eine Katze oder mehr sind. Aber es ist nur eine Katze

Das ist eben nicht richtig. Wie kommst du darauf, dass es nur eine Katze sein soll? Es wird doch nur gesagt, dass es eine Katze mit Schnurrhaaren gibt. Das schließt nicht aus, dass es noch andere Katzen mit Schnurrhaaren gibt. Will man Aussagen, dass es eine Katze mit Schnurrhaaren gibt und nicht mehr, so sagt man "Es gibt genau eine Katze, die Schnurrhaare hat."

Zitat:

Es kommt nur eine negierte Allausage in Frage: $\begin{eqnarray*} Nicht (\forall x(A(x))) \end{eqnarray*}$ Nicht alle Katzen haben Schnurrhaare.

Das hingegen sagt etwas völlig anderes aus.

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