Problem bei Bruchgleichung - falsche Lösung

Neue Frage »

Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Bruchgleichung - falsche Lösung
Hallo Leute

komme bei folgender Gleichung immer zum falschen Ergebnis. Könnt ihr vielleicht einmal drüber schauen und mir sagen, welchen Fehler ich begangen habe?

2/x-2 + 3x+6/x²+4x+4 = 8/x²-4 ... vereinfachen

1/x-1 + 9/x²+8 = 2/x²-1 ... *(x²-1)

x²-1/x-1 + 9x²-9/x²+8 = 2 ... vereinfachen

x +1 + 0/8 = 2 ... -1

x = 1
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne, aber leider lässt deine Schreibweise verschiedene Interpretationen zu. Du solltest also erstmal den Formeleditor benutzen und die Gleichung sauber aufschreiben!
 
 
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei Bruchgleichung - falsche Lösung
Welchen Hauptnenner hast du verwendet ?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

die / - Zeichen stellen jeweils den Bruchstrich dar. Habe zwischen den einzelnen Brüchen und den darausffolgenden Rechenzeichen 2 Plätze ausgelassen, damit man zwischen den einzelnen Brüchen differenzieren kann.
Oder habe ich die Aussage falsch interpretiert und das "Verständnisproblem" liegt gar nicht in diesem Bereich?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist was nun alles im Nenner steht. Das solltest du, wenn du dir schon nicht die Mühe machen möchtest und den Formeleditor benutzt, zumindest mit Klammern deutlich machen. Ansonsten kann nur geraten werden. Gehe ich also richtig in der Annahme, das alles was nach deinem / kommt im Nenner stehen soll?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Genau
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar! Dann erkläre mir doch bitte einmal wie du auf deine 2. Zeile gekommen bist. Du schreibst ja nur "vereinfachen". Was hast du da gemacht?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

2/x-2 + 3x+6/x²+4x+4 = 8/x²-4 ... vereinfachen

bei dem ersten Bruch die 2 im Zähler und die -2 im Nenner mit 2 gekürzt, folglich entsteht der Bruch 1/x-1, richtig?

Bei dem zweiten Bruch dasselbe Verfahren. Das x der 3 im Zähler mit dem x der 4 im Nenner gekürzt. Daraus resultiert der Bruch 3+6/x²+4+4, was 9/x²+8 ist, oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich befürchtet. Du darfst natürlich nicht mitten in eine Differenz oder Summe willkürlich reinkürzen. Du darfst nur Faktoren kürzen, d.h. bei einer Multiplikation.



Wenn es um einen Vergleich von Brüchen geht, brauchen wir erstmal einen gemeinsamen Nenner. Dafür solltest du den zweiten und dritten Nenner erstmal faktorisieren. Dafür gebe ich dir auch ein Stichwort: Binomische Formel Augenzwinkern

Nun du...
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Denkanregungen. Eine kleine Frage habe ich: Gibt es ein spezielles Vorgehensmuster, um den gemeinsamen Nenner zu errechnen oder sieht das geschulte, erfahrene mathematische Auge direkt, was man wie vereinfachen muss, damit man "automatisch" einen gemeinsamen Nenner hat? Wenn 2. der Fall sein sollte, dann bin ich verloren..
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, einen gemeinsamen Nenner findet wohl jeder. Das ist ja immer das Produkt aller Nenner die wir finden. Augenzwinkern
Nun geht es ja aber darum, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, um sich Rechenarbeit zu sparen. Und da hat das geschulte Auge eben Vorteile. Den passenden Denkanstoss habe ich dir dafür aber ja bereits gegeben.
Wie kannst du mithilfe der binomischen Formeln die Terme und als Produkt schreiben?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich schon auf diese Weise herausgefunden, aber das bringt mir nicht sehr viel, wenn ich nicht weiß, worauf ich achten muss, wenn ich eine Aufgabe dieser Größenordnung zu lösen habe. Die Aufgaben unterscheiden sich ja voneinander, was hier klappt, muss nicht bei den anderen klappen. Auf welche Merkmale muss ich genau achten?

Wenn ich die Nenner miteinander multipliziere, erhalte ich x^5-8x^3+2x^4-16x+32

Ursprüngliche Multiplikation (Multipl. aller Nenner unter Anwendung d. binom. Formel):
1) (x-2)(x²+4x+4)(x²-4)
2) (x-2)(x+2)²(x²-4)
3) (x²-4)(x+2)(x²-4)
4) Klammer 1*Klammer 2 (x^3+2x-4x-8)(x²-4)
5)(Kl.1 u. Kl.2)*Klammer 3
6) (x^5-4x^3+2x^4+8x²-4x^3-16x-8x²+32)
7) x^5-8x^3-16x²+2x^4-16x+32

Weiß nicht, aber irgendwie bin ich mathematisch unbegabt, ich suche nach den logischen Hintergründen, kann aber einfach keine finden..

PS: Vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst, um mir zu helfen!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nektarino

Weiß nicht, aber irgendwie bin ich mathematisch unbegabt


Das vermag ich nicht zu beurteilen, du solltest jedoch einmal genau lesen was ich schreibe! Wo sage ich denn, du sollst das Produkt aller Nenner bilden? Ich habe nur eine einzige Frage gestellt, und darauf hätte ich gerne eine Antwort bekommen.

Nun ja - ich habe deine Rechnung nun nicht überprüft, weil sie nicht zielführend ist, aber ich habe eine interessante Stelle gefunden, nämlich bei 2)

Da schreibst du für auf einmal . Mehr wollte ich nicht. Freude

Kannst du mir nun noch für ein Produkt liefern?

Als Tipp: Die dritte binomische lautet:

Zitat:

PS: Vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst, um mir zu helfen!


Gern geschehen!
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

x²-4 = (x+2)(x-2)

aber eigentlich macht das keinen Sinn, dann würde es x²-2² lauten, was wiederrum x²+4 zur Folge hätte und nicht -4 (zur Überprüfung: (-2)*(-2)=4, da - und - gleich + zur Folge hat, oder
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar!

Also lautet unsere Gleichung nun:



So, bevor wir nun endlich zum Rechnen kommen, müssen wir unsere Vorbereitungen abschließen. Und das heißt bei einer Bruchgleichung erstmal die Definitionsmenge angeben. Die Definitionsmenge fragt ja, welche Zahlen ich für x überhaupt einsetzen darf. Was darf bei einem Bruch nämlich nicht passieren?

edit: Nein - du hast ja um deine -2 keine Klammer. Der Exponent bezieht sich also nur auf die Zahl, nicht auf das Vorzeichen!
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Das Dividieren durch 0?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau! Freude

Für welche x würden wir das denn nun machen?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf willst du genau hinaus? Man kann ja theoretisch alle ganzen Zahlen (außer 0) sowie rationalen Zahlen für x einsetzen, oder hab ich etwas falsch verstanden?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn momentan die Menge der rationalen Zahlen die größte Zahlenmenge ist die du kennst, denn darfst du natürlich alle rationalen Zahlen (auch die 0!) für x einsetzen. Es darf dann nur nicht ein Nenner 0 ergeben. Wir suchen nun also alle rationalen Zahlen, für das dieses der Fall wäre. Wir könnten ja einmal die Null probieren:

Eingesetzt in den ersten Nenner ergibt:



Nenner 2:



Nenner 3:



Da gib´s also keine Probleme!

Aber bei welchen Zahlen wird nun ein Nenner Null ?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

bei der 2
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre eine Zahl. Es gibt noch eine zweite.
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

-2
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Wir dürfen also alle rationalen Zahlen einsetzen, aber nicht die -2 und auch nicht die 2. Mathematisch aufgeschrieben sieht das denn so aus:



Nun sind wir fertig mit den Vorbereitungen und es geht los mit dem Lösen der Gleichung. Dafür brauchen wir nun also den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache von , und . Wie lautet nun also das kleinste Produkt, auf das wir jeden der drei Nenner erweitern können?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

(x-2)(x+2)
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Guck dir doch mal den zweiten Nenner an Augenzwinkern

edit: Moment - ich war falsch.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Sache gerade vergessen. Ich habe nur auf den Nenner geachtet, nicht auf den Zähler. Unsere Gleichung lautet ja:



Wenn du dir den zweiten Zähler einmal anguckst, was kann man hier noch ausklammern?

edit: Den Nenner hatten wir ja schon faktorisiert...
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

3(x+2)? der Zähler im 2. Bruch
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt! Unsere Gleichung lautet also:



Was können wir nun mit dem zweiten Bruch machen?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

kürzen? 3/(x+2)?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Unsere neue Gleichung lautet also:



Und damit hast du eben den Hauptnenner schon richtig benannt. Freude

Nun erweitere also mal die linke Seite deiner Gleichung auf den Hauptnenner. Was steht dann im Zähler?
Nektarino Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider für eine Stunde weg, danach würde ich gerne die Gleichung zu Ende bringen, wenn das okay für dich ist? smile Vielen Dank nocheinmal!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - gern geschehen!

Falls ich denn nicht mehr hier bin, hilft bestimmt jemand anderes. Das Ziel ist ja nicht mehr weit entfernt Augenzwinkern

Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »