Nullstellen im Intervall [0, 2pi)

04.10.2014, 21:08

Doutzi

Nullstellen im Intervall [0, 2pi)

Meine Frage:
Hallo Zusammen

Folgende Aussage muss ich beweisen:

Seien $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \in \mathbb R , k= 0,, 1, ..., n. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} p(x) =\sum\limits_{k=0}^n (a_kcoskx + b_ksinkx) \end{eqnarray*}$
höchstens 2n Nullstellen auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi ) \end{eqnarray*}$ hat, falls p nicht identisch verschwindet.
Hinweis: $\begin{eqnarray*} coskx = \frac{z^k+z^{-k}}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} sinkx = \frac{z^k+-^{-k}}{2i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = e^{ix} \in C \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich beginnen soll...

Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \! f(x)coskx \, dx \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \! f(x)sinkx\, dx \end{eqnarray*}$

Aber was bedeutet "falls p nicht identisch verschwindet"? Und wie beginne ich hier am Besten (irgendwie muss ich ja den Hinweis verwenden können)?

Vielen Dank für einen Tipp!

04.10.2014, 23:27

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
Da steht nicht umsonst ein p wie Polynom Big Laugh

05.10.2014, 11:05

Doutzi

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
Das ist mir schon klar, leider weiss ich trotzdem nicht wie beginnen...

05.10.2014, 11:17

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
Hinweis einsetzen und dann $\begin{align*} z^{-n} \end{align*}$ ausklammern.

05.10.2014, 13:52

Doutzi

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
$\begin{eqnarray*} p(x) =\sum\limits_{k=0}^n (a_kcoskx + b_ksinkx) <br /> =\sum\limits_{k=0}^n (a_k \frac{z^k+z^{-k}}{2} +b_k \frac{z^k-z^{-k}}{2i}) <br /> = \sum\limits_{k=0}^n z^{-k}(a_k\frac {z^{2k}}{2}+a_k\frac {1}{2} + b_k\frac {z^{2k}}{2i} - b_k\frac {1}{2i}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Was hilft mir das Ausklammern von $\begin{eqnarray*} z^{-k} \end{eqnarray*}$ ?

05.10.2014, 13:58

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
Ich sagte

Zitat:

Original von URL
[...] $\begin{align*} z^{\textcolor{red}{-n}} \end{align*}$ ausklammern.

Das kannst du dann vor die Klammer ziehen und dann überlegen, wann der ganze Ausdruck Null werden kann

05.10.2014, 16:51

Doutzi

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RE: Nullstellen im Intervall [0, 2pi)
Also meinst du so?

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum\limits_{k=0}^n z^{-n} (a_k\frac {z^{2(k-1)}}{2}+a_k\frac {1}{2} + b_k\frac {z^{2(k-1)}}{2i} - b_k\frac {1}{2i}) \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck ist gleich 0, wenn $\begin{eqnarray*} z^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ oder der Ausdruck in der Klammer = 0 ist. Wie finde ich die Nullstellen von dem Term in der Klammer?

05.10.2014, 16:55

HAL 9000

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mal erinnern, was eigentlich zu beweisen ist...

Zitat:

Original von Doutzi
Wie finde ich die Nullstellen von dem Term in der Klammer?

Es geht nicht um die konkrete Lage der Nullstellen, sondern nur um deren (Maximal-)Anzahl:

Zitat:

Original von Doutzi
Zeigen Sie, dass [...] höchstens 2n Nullstellen auf dem Intervall [...] hat

05.10.2014, 17:10

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RE: mal erinnern, was eigentlich zu beweisen ist...
Nein, meine ich nicht. Du hast falsch ausgeklammert. Der Term in der Klammer ist falsch. Du kannst ja mal ausmultiplizieren und schauen, ob du auf die Ausgangssumme kommst.

Wenn du dann richtig ausgeklammert hast:
Kann $\begin{eqnarray*} z^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ überhaupt gelten?
Hängt $\begin{eqnarray*} z^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ von k ab? Nein, also vor die Summe damit. Dann hast du ein Produkt aus $\begin{eqnarray*} z^{-n} \end{eqnarray*}$ und einer Summe. Wann wird dieses Produkt Null?
Die Nullstellen von dem Term in der Klammer sind völlig unerheblich. Du musst dir jetzt schließlich und endlich nur noch klar machen, was die Summe letztlich ist (du erinnerst dich an das Polynom)

05.10.2014, 19:46

Doutzi

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RE: mal erinnern, was eigentlich zu beweisen ist...
$\begin{eqnarray*} z^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ kann nicht gelten, da $\begin{eqnarray*} z^{-n} = e^{-ixn} \end{eqnarray*}$ und das kann gar nie Null werden.

Und da die Summe ein Polynom ist, gibt es maximal so viele Nullstellen wie der höchste Grad vom Polynom (also müsste das Polynom maximal Grad 2n haben).

Aber bitte entschuldige, ich steh grad völlig auf dem Schlauch oder bin vielleicht einfach nur zu blöd zum Ausklammern... wie soll ich hier $\begin{eqnarray*} z^{-n} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

05.10.2014, 19:56

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RE: mal erinnern, was eigentlich zu beweisen ist...
Idee verstanden Freude

Bei Rest: Schlauch würde ich sagen smile

$\begin{align*} z^k=z^{-n}z^{n+k} \end{align*}$ und $\begin{align*} z^{-k}=z^{-n}z^{n-k} \end{align*}$
Wegen $\begin{align*} 0\leq k \leq n \end{align*}$ ist dann $\begin{align*} 0\leq n- k \leq n+k \leq 2n \end{align*}$
und die Frage nach dem maximalen Grad des Polynoms ist auch beantwortet.

05.10.2014, 20:21

Doutzi

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RE: mal erinnern, was eigentlich zu beweisen ist...
Macht Sinn! Freude

Vielen Dank für die Hilfe! smile

Lg Doutzi

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