Taylorentwicklung, Berechnung von cos(29°)

05.10.2014, 23:51

Kimyaci

Taylorentwicklung, Berechnung von cos(29°)

Die Aufgabe lautet: "Berechnen Sie cos(29°) unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} sin(30°) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(30°) = \frac{\sqrt 3} 2 \end{eqnarray*}$ ." Wollte mit einer Taylorreihe ansetzen, allerdings weiß ich nicht wie bzw. wie ich die Näherungen benutzen soll.

05.10.2014, 23:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimyaci
Wollte mit einer Taylorreihe ansetzen

Dann tu das doch! Und zwar die Taylorreihe der Funktion $\begin{align*} f(x) = \cos(x) \end{align*}$ an der Entwicklungsstelle $\begin{align*} x_0 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \end{align*}$ .

06.10.2014, 00:33

Kimyaci

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Okay!

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist das Taylorpolynom dritten Grades (das dürfte ja reichen für die Näherung):

$\begin{eqnarray*} T_f(x_0) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f''(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^2}{2!} + f'''(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^3}{3!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T^3_f(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6}) \cdot (x-\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^2}{4} + \sin(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^3}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_f^3(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt 3}{2} - \frac 1 2 \cdot (x-\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^2}{4} + \frac 1 2 \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^3}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_f^3(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt 3}{2} - \frac 1 2 \cdot (x-\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^2}{4} + \frac 1 2 \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{6})^3}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_f^3(\frac{\pi}{6}) =\frac{\sqrt 3}{2} - \frac 1 2 \cdot (x-\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt 3 (x-\frac{\pi}{6})^2}{8} + \frac{(x-\frac{\pi}{6})^3}{12} \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach nur noch $\begin{align*} x= 29 ^o = 0.506 \pi \end{align*}$ einsetzen, ausrechnen, fertig?

06.10.2014, 01:18

HAL 9000

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$\begin{align*} x=29^{\circ} \end{align*}$ ja, aber das ist $\begin{align*} x=\frac{29}{180}\pi\approx 0.161\pi \end{align*}$ , aber viel wichtiger zum Einsetzen: Es ist dann

$\begin{align*} x-x_0 = -\frac{\pi}{180} \end{align*}$ .

06.10.2014, 01:50

Kimyaci

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Ok vielen Dank! Freude

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