Bestimmung einer Polynomfunktion aus Punkten |
| 06.10.2014, 16:31 | Laura1722 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimmung einer Polynomfunktion aus Punkten Hallo, wir haben mehrere Aufgaben zur Bestimmung von Polynomfunktionen aus mehreren Punkten. Meine Ideen: Wir haben auch die dazugehörigen Lösungen. Was mir jetzt aufgefallen ist: Wenn zwei Punkte gegeben waren, war die Lösung immer eine Funktion ersten Grades, also der Form: a*x + b Wenn drei Punkte gegeben waren, war die Lösung immer eine Funktion zweiten Grades, also der Form: a*x² + b*x + c Ich weiß wie man eine Funktion, egal welchen Grades aus den Punkten herleitet, aber wie kann ich aus den gegebenen Punkten schließen welchen Grad die Funktion haben soll ? Wie gesagt lassen die Lösungen vermuten, dass die Anzahl der gegebenen Punkte gleich der Grad der Funktion ist. Aber das kann doch eigentlich nicht sein, weil man kann mir ja auch 5 Punkte zur einer Geraden geben und das ist dann trotzdem keine Funktion 5ten Grades. Danke 
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| 06.10.2014, 17:13 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstens: 5 beliebige Punkte genügen ja nur für die Funktion vierten Grades. Du hast doch selber gemerkt, dass 2 Punkte für eine lineare Funktion und drei Punkte für eine quadratische Funktion genügen. Daher kann ich den Satz "Wie gesagt lassen die Lösungen vermuten, dass die Anzahl der gegebenen Punkte gleich der Grad der Funktion ist." nicht verstehen. Zweitens: Meistens steht es ja in der Aufgabe, was für eine Funktion du dir "basteln" sollst. Wenn nicht nimmst du eben ganz normal deinen Ansatz, als Grad ein weniger als die Anzahl deiner Punkte (wenn keine besonderen Punkte dabei). Falls deine 5 Punkte nun auf einer Geraden liegen, werden bei dir eben einige Koeffizienten Null ergeben. 
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| 06.10.2014, 17:24 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn nur n Punkte ein Kriterium sind, dann gilt: Es genügt ein Polynom höchstens vom Grade n-1 ----------------------------------- edit: die Punktmenge muss natürlich eine rechtseindeutige Relation sein ! |
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| 06.10.2014, 20:02 | Laura1722 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja Mathema, da habe ich mich nicht ganz konzentriert, aber genau das meinte ich. Bei uns steht eben nicht dabei, welchen Grades, deshalb habe ich es mit Grad = gegebene Punkte - 1 versucht. Jetzt bin ich tatsächlich an so eine Aufgabe geraten, bei der das nicht funktioniert: P1 = (1/3; 1/2) P2 = (7/4; 21/8) P3 = (-1/2; -3/4) 3 Punkte, also ging ich erstmal von zweitem Grad aus. Ich bin dann wie immer vorgegangen: X und Y aus erstem Punkt in die Gleichung y = ax² + bx + c eingesetzt und nach a aufgelöst X und Y aus zweitem Punkt in die obige Gleichung eingesetzt und nach b aufgelöst Das a aus dem ersten Schritt in die Gleichung aus dem zweiten Schritt einsetzen usw. am Ende erhalte ich dann große Brüche für a, b und c. Die Lösung im Lösungsbuch war dann eine Gerade und keine Parabel. Ich habe mir meine Lösung online zeichnen lassen und auch gesehen dass nicht alle drei Punkte auf dem Graphen liegen. Wie kann ich sowas vermeiden ? |
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| 06.10.2014, 20:09 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann wirst du dich wohl einfach verrechnet haben. Aber ohne Rechnung kann ich das nun leider nicht nachvollziehen. Du müsstest mir also einmal deine Rechnung zeigen, wenn ich mich auf Fehlersuche begeben soll?! edit: Deine Gleichungen laueren doch nach deinem Ansatz: IV (II - I): V (III-I) Das Additionsverfahren nach Multiplikation von IV mit 5/6 und V mit 17/12 erhalten wir: Also eine lineare Funktion. |
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| 06.10.2014, 20:18 | Laura1722 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, hoffe man kanns lesen |
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| 06.10.2014, 20:25 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kleiner Hinweis: solche Rechnungen sollte man immer mit Gauß lösen und wenn möglich nur mit ganzen Zahlen rechnen. |
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| 06.10.2014, 20:27 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du machst schon ganz am Anfang einen Fehler. Weiter habe ich denn nicht mehr geguckt. Man beachte das Minus vor dem c. |
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| 06.10.2014, 20:30 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist natürlich wesentlich schöner als das Einsetzungsverfahren. |
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| 06.10.2014, 20:33 | Laura1722 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ! |
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| 06.10.2014, 20:41 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen! Vielleicht magst du ja noch mal den Hinweis von Dopap nachgehen oder dir auch meine Rechnung angucken (ohne Brüche ist es natürlich noch schöner). Mit etwas Training geht dieses Lösungsverfahren wesentlich schneller und einfacher. Schönen Abend dir!
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