Mengenlehre,logik

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre,logik
Hallo!

Hatte heute 1. Mahte Vorlesung und brauche bitte jetzt schon Hilfe und Gedankenansätze/ Lösungen zu folgenden Übungsbeispiele.

Aussage a ist meines erachtens richtig, b auch da primzahlen immer 2 teiler haben und zahl 1 - auch einen teiler, c) nur wenn m=1 ist, d)nur wenn n=1, m=1, m*n=1

"Formel" kann ich zwar aufstellen, aber eher in komplizierter schreibweise bzw. verstehe ich nicht wie ich mich bei der negation anstellen soll?

Dankeschön für eure Hilfe

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Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre,logik
Hallo,

1. Problematik: Beweisen
Die Aufgabe verlangt Begründungen für die Aussagen, nicht deine Einschätzung, ob sie richtig oder falsch sind. Sie sind ALLE richtig.

2. Problematik: Beweisen
Wenn du die Aussagen vernünftig begründen willst, musst du sie mathematisch beweisen.
Dafür verwendest du die Definition die dir gegeben wurden und verwendest mathematische Notation.

3. Problematik: Notation
Vielleicht solltest du die Aufgabe der Notation der Aussagen zuerst vorziehen.
Hier sollst du einfach in mathematische Pfeile und Zeichen (Implikationen und Quantoren) übersetzen.
Eine Formulierung wie genau dann, wenn wird mit dem Äquivalenzpfeil übersetzt (als Beispiel). Für solche Bezeichnungen wie "zu jeder" (für alle) und "gibt es mindestens 1" (es existiert ein), gibt es die Quantoren.

4.Problematik: Negation
Jede Aussage lässt sich negieren, wobei sich die Implikationen und Quantoren dementsprechend ändern. Deswegen der Hinweis in der Aufgabe erstmal in Alltags Sprache zu übersetzen:
Beispiele Aussage: Jede Katze hat 4 Beine
Negation: Es exisiert eine Katze die keine 4 Beine hat.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre,logik
Hier ein paar ergänzende Links zu Yakyu's Beitrag, die dir auch helfen sollten:

Wie man Aussagen in mathematische Formeln übersetzt
Negation von Aussagen
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die raschen Antworten!

Ich habe jetzt ein wenig über diese Aufgabe nachgedacht und folgende Formel zusammengefasst:

a)

b)

c)

d)

Ich bin leider kein Mathematiker und verstehe es ein wenig schwieriger, aber sind diese Aussagen prinzipiell richtig? Wie kann man sie noch verbessern oder wie kann man sie vereinfachen?

Ich wäre euch sehr dankbar
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Leider sind deine Antworten falsch. Ich denke, es ist das Beste, wenn man schrittweise vorgeht. Nehmen wir uns also zuerst die a). Hier hattest du geschrieben:



Wichtig: Übersetze nicht den direkt 1:1. Wenn du beispielsweise schreibst, dann bedeutet es nicht "für alle natürlichen Zahlen n und für alle natürlichen Zahlen m". An dieser Stelle darfst du "und" nicht mit übersetzen. verwendest du nur bei "und", welches Aussagen verknüpft, nicht bei "und" in Aufzählungen. Das Fragment "Für alle natürlichen Zahlen n und für alle natürlichen Zahlen m gilt ..." muss lauten .

Weitere Fehler: steht nicht für "... wenn, dann ...", sondern die Äquivalenz .

Wieso schreibst du ? (Damit ich weiß, welchen Fehler du hier machst).

Hast du dir schon Übersetzung von natürlicher in formaler Sprache angeschaut?
 
 
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Es tut mir leid, dass meine Antwort so fehlerhaft ist, aber ich glaube auch die mathematische Sprache lernt man nur durch Fehler.

Die Übersetzung hab ich mir angesehen und eigentlich verstanden, nur tue ich mir bei der Formulierung schwer.

Das mit dem Junktor hätte ich eigentlich wissen müssen, das gebe ich auch zu.

Dieses Zeichen hätte ich gedacht, dass es für Äquivalenz im Formeleditor steht, aber wirklichkeit mein ich natürlich den Äquivalenzpfeil



damit hätte ich gemeint, dass die aussage " n ist Teiler von m" äquivalent zu der Aussage m gebrochen durch n steht. Beide Aussagen haben ein gemeinsames Ergebnis k, welches ein Vielfaches von n ist....wobei k ein Element der natürlichen Zahlen sein muss....ich hab mir das eben Zahlenmäßig vorgestellt Bsp. m=8, z.B.:n=2 --> k=4.......wenn n=4 --->k=2 usw.

Danke
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es tut mir leid, dass meine Antwort so fehlerhaft ist, aber ich glaube auch die mathematische Sprache lernt man nur durch Fehler.


Da hast du natürlich vollkommen recht. Augenzwinkern

Zitat:
damit hätte ich gemeint, dass die aussage " n ist Teiler von m" äquivalent zu der Aussage m gebrochen durch n steht. Beide Aussagen haben ein gemeinsames Ergebnis k, welches ein Vielfaches von n ist....wobei k ein Element der natürlichen Zahlen sein muss....ich hab mir das eben Zahlenmäßig vorgestellt Bsp. m=8, z.B.:n=2 --> k=4.......wenn n=4 --->k=2 usw.


Hier lautet die gesuchte Aussage



Kannst ja jetzt die a) erneut versuchen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stephan Kulla


Hier lautet die gesuchte Aussage



Kürzer kannst du es im übrigen schreiben als



Kannst ja jetzt die a) erneut versuchen.


Gemeint ist natürlich:



und


winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Die längere Aussage kann ich aber für bsp. 2 auch verwenden....kannst du mir vl die anderen aussagen noch richtig korrigieren...wäre echt super!

Danke
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die längere Aussage kann ich aber für bsp. 2 auch verwenden....kannst du mir vl die anderen aussagen noch richtig korrigieren...wäre echt super!


Ungern möchte ich dir die Lösungen vorhersagen. Versuche doch selbst noch einmal die 4 Aussagen zur formalisieren (wobei du das bisher besprochene berücksichtigst) und ich werde dann die restlichen Fehler korrigieren...
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)

zu b)

c)

d)
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Passt Augenzwinkern (Ich würde die Aussageform noch allquantifizieren, also vorne ransetzen, aber so passt es eher zur Aussage)

Zitat:


Nicht richtig. ist falsch. kannst du nur als oder verwenden. ohne Variable, die quantifiziert wird (also mit direkt danach folgenden Term) ist immer falsch.

Zitat:


Richtig: (siehe Äquivalenz)

Zitat:


Richtig Augenzwinkern (Tipp: Schreibe in Latex \cdot anstatt *, dass sieht dann so aus: )
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt Aussage b) so:



eig. ist punkt 3 automatisch mit punkt 4 erledigt, denn das ist die Begründung?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Bedeutung dieser Aussage wäre: Jede natürliche Zahl teilt jede andere natürliche Zahl. (Siehst du warum?)

Der Ausdruck "Für alle x gibt es ein y mit ..." lautet

PS: Normalerweise schreibt man zwischen Quantoren keinen Doppelpunkt. Also anstatt würde man schreiben. Syntaktisch ist die Aussage aber schon einmal richtig Augenzwinkern (nur semantisch nicht...)
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, und inwiefern wäre diese Aussage richtig

Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Ich würde



schreiben.
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so umständlich?
Du schreibst
"für alle natürlichen Zahlen m existiert ein n so dass m/n eine natürliche zahl ist und n eine natürliche zahl ist"

Aus meiner Sicht ist es doch viel angenehmer wenn man schon bei der existenz von n beschreibt was n sein soll: Also

"für alle natürlichen Zahlen m existiert eine natürliche Zahl n so dass m/n eine natürliche Zahl ist":


Vielleicht zähle ich hier Erbsen, aber ich finde diese Formulierung deutlch angenehmer.
Insbesondere lässt sie sich einfacher von links nach rechts lesen. Mir graut um Ehrlich zu sein vor der Anwendung deiner Formulierung bei etwas längeren Aussagen, wie zum Beispiel der Konvergenzdefinition von Folgen.

Nachtrag: Danke @Stephan, war voll zu spät dran smile
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke...

Jetzt noch zum heikleren Thema: Negierung:

1)

ist weiters?



Kann man diese Regel ja anwenden?

Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, passt (siehe Aussagen negieren)
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

dann die restlichen negierten Aussagen:

b)



c)



d)





ist dies richtig
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Sehr gut Augenzwinkern
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, war zwar eine schwere Geburt, aber ich hoffe du hast Verständnis mit mir.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfang ist immer schwer Augenzwinkern

Vielleicht kannst du mir im Gegenzug auch helfen. Du hast dir wahrscheinlich den Artikel Aussage negieren durchgelesen. Da dieser Artikel von mir stammt: Ist dir etwas aufgefallen, was man verbessern kann? Hattest du irgendwo Verständnisprobleme?
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Ich finde der Artikel ist sehr verständlich geschrieben und übersichtlich. Allerdings halte ich vielleicht das erste Bsp. (wo die Definition des Grenzwert einer Folge negiert wird) für einen Laien wie mir gleich am Anfang an etwas für schwierig. (obwohl es sehr ausführlich und Schritt für Schritt gut erklärt wird)

Da wünsch ich mir vielleicht noch ein einfacheres Einstiegsbsp. sofern es nicht schon in anderen Artikel schon beschrieben wurde, wie du z.B. erwähnt hast:

Beispiele Aussage: Jede Katze hat 4 Beine
Negation: Es exisiert eine Katze die keine 4 Beine hat.
(angeschrieben in math. Formel)

Was ich auch noch fragen wollte, ob es eine große übersichtliche Wahrheitstafel gibt, bei der ziemlich viele, gängige Fälle eingetragen sind, die man sich vl. ausdrucken könnte.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon mal angefangen, den ersten Abschnitt zu überarbeiten. Wenn ich wieder Zeit habe, werde ich den Abschnitt "Beispiele" überarbeiten und dann auch ein einfaches Beispiel hinzunehmen.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Finde ich sehr gut!!

Ich muss dich noch kurz etwas fragen. Bei Frage 5 soll man das zuerst in Alltagssprache negieren, lauten die Aussagen dann so:

a) es gibt zahlen, bei denen n teilt m genau dann, wenn der Bruch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen liegt.

b)es gibt eine natürliche Zahl bei denen es keinen Teiler gibt.

c)wenn n teilt m gilt, dann gilt nicht, dass n teilt m²

d)wenn 2 teilt (n m), dann teilt 2 nicht n und 2 teilt nicht m.

die mathematische Formulierung ist mir lieber Augenzwinkern
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a) es gibt zahlen, bei denen n teilt m genau dann, wenn der Bruch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen liegt.


Passt. Benenne die Zahlen, die du durch den Existenzquantor einführst:

Es gibt Zahlen n und m, bei denen n genau dann m teilt, wenn ...

Zitat:
es gibt eine natürliche Zahl bei denen es keinen Teiler gibt.


Passt. Der Satz kann noch besser formuliert werden: Es gibt eine natürliche Zahl ohne Teiler.

Zitat:
c) wenn n teilt m gilt, dann gilt nicht, dass n teilt m²

d) wenn 2 teilt (n m), dann teilt 2 nicht n und 2 teilt nicht m.


Der Existenzquantor-Teil fehlt. Probiere es noch einmal.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der c) kannst du auch folgendes machen:



Die Übersetzung ist:

Es gibt natürliche Zahlen n und m, bei der entweder n die Zahl m teilt oder m die Zahl n teilt (aber nicht beide Fälle gleichzeitig auftreten).

Habe bemerkt, dass diese Übersetzung eleganter ist (verwendet die Kontravalenz ). Den Artikel zur Negation von Aussagen habe ich entsprechend erweitert.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

ist es so richtig?

c) es gibt natürliche Zahlen n und m, bei der entweder die Zahl n die Zahl m teilt oder n teilt die Zahl m², aber nicht beides gleichzeitig.

d) es gibt natürliche Zahlen n und m, wenn die Zahl 2 (n m) teilt, dann teilt 2 nicht n und 2 teilt nicht m.

Das mit da Kontravalenz ist ein guter Tipp, hatte nämlich nicht gewusst, dass dieses Zeichen existiert.

Danke für deine Hilfe, morgen bekomme ich eine neue Übung, da wird es vermutlich im Forum nur so von Fragen hageln. Augenzwinkern
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

c) ist richtig. d) noch nicht. Der Satz

Zitat:
es gibt natürliche Zahlen n und m, wenn die Zahl 2 (n m) teilt, dann teilt 2 nicht n und 2 teilt nicht m.


wäre



Es steht aber



da.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

das "dann" muss man als "und" ersetzen, so:

es gibt natürliche Zahlen n und m, wenn die Zahl 2 (n m) teilt und 2 teilt nicht n und 2 teilt nicht m. (hört sich ein wenig unkorrekt an)
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Besser:

Es gibt natürliche Zahlen n und m, für 2 die Zahl (n m) teilt und 2 nicht n teilt und 2 nicht m teilt.

Update: Den Abschnitt „Beispiele“ aus dem Artikel „Aussage negieren“ habe ich nun um ein einführendes Beispiel ergänzt. Die Aktuelle Version findest du hier. Danke also noch einmal für dein Feedback! Augenzwinkern

Edit: Doppelpost zusammengeführt. LG Iorek
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