Wahrscheinlichkeit einer mehrdimensionalen Verteilung berechnen

06.10.2014, 22:03

mathemare

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Wahrscheinlichkeit einer mehrdimensionalen Verteilung berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter bzw. bin ich mir mit den Lösungen unsicher.

Ein Winzer verkauft Qualitätswein, Prädikatswein und Spätlese der Jahrgänge 1977, 1978, 1979.
Unabhängig vom Jahrgang kostet eine Flasche Qualitätswein 3 Euro, eine Flasche Prädikatswein 5 Euro und ein Flasche Spätlese 8 Euro.

Die folgende Tabelle enthält Angaben über den anteiligen Lagerbestand:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{tabular} {|c| p{1cm} | p{1cm} | p{1cm} | p{1cm} |}<br /> \hline & 1977 & 1978 & 1979 & \\<br /> \hline \text{Qualitätswein} & 0,01 & 0,11 & 0,38 \\<br /> \hline <br /> \text{Prädikatswein} & \text{0,03} & \text{0,14} & \text{0,18} & \text{} \\<br /> \hline <br /> \text{Spätlese} & \text{0,02} & \text{0,05} & \text{0,08} & \text{} \\<br /> \hline<br /> \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } \\<br /> \hline<br /> \end{tabular}<br /> \end{eqnarray*}$

1. Berechnen Sie für diesen Lagerbestand den Mittelwert des Abgabepreises einer Flasche Wein.

2. Aus dem Bestand wird zufällig eine Flasche entnommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche keine Spätlese und nicht vom Jahrgang 1977 ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche des Jahrgangs 1979 Qualitätswein ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Qualitätswein oder eine Spätlese ist unter der Bedingung, dass die Flasche vom Jahrgang 1979 ist?

Meine Ideen:
Was ist gegeben?
- es handelt sich hierbei, um eine mehrdimensionale oder auch bivariate Häufigkeitsverteilung mit relativen Häufigkeiten, richtig?

1. Schritt
Die Tabelle lädt ja regelrecht dazu ein die Spalten- und Zeilensummen zu bilden, was nach meinen Recherchen die sogenannten Randverteilungen von X bzw. Y sind.
Nachdem das erledigt ist steht dann im letzten Feld unten rechts in der Tabelle eine 1, was 100 % Lagerbestand entspricht.

2. Schritt
Den Mittelwert bzw. das gewogene arithmetische Mittel habe ich dann mit Hilfe der Zeilensummen so berechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> 3*0,5 + 5*0,35 + 8*0,15<br /> \end{eqnarray*}$

3. Bei den Wahrscheinlichkeiten bin ich mir nun unsicher.

Mein Ansatz für 2. a) wäre z.B. Folgender:
Da die 0,02 in Zeile 4 Spalte 1 ja die Wahrscheinlichkeit/relative Häufigkeit für eine Flasche "Spätlese aus 1977" ist (richtig?) könnte ich diese ja von 1 subtrahieren und hätte damit 0,98 als Ergebnis.

06.10.2014, 22:54

Yakyu

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Aufgabe 1 ist soweit richtig.
Vielleicht ein kleiner Tipp zur Interpretation der Wahrscheinlichkeiten:
Die Zeilensummen ergeben die relative Häufigkeiten von der Weinsorte, die Spaltensummen
die relative Häufigkeit der Jahrgänge.

Zu 2a)
Was ist das Gegenereignis zu nicht Spätlese und nicht 1977?
Das was du gerechnet hast entspricht dem Ereignis keine Spätlese aus 1977.

zu 2b) Bedingte Wahrscheinlichkeit, hier musst du die relative Häufigkeit des gesuchten Ereignisses durch die relative Häufigkeit der Bedingung teilen. Also
gesuchtes Ereignis: Qualitätswein aus 1979
bedingtes Ereignis: Wein aus 1979.

2c) geht ähnlich

07.10.2014, 12:05

mathemare

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Hey danke für die Antwort.

Also zu 2a)

- Das Gegenereignis zu nicht Spätlese und nicht 1977 ist doch die gegebene 0,02 aus der Tabelle, also "Spätlese und 1977", oder?

- Die Zeilensumme von Spätlese ist 0,15 was also die relative Häufigkeit von Spätlese im Weinkeller ist und damit auch der Wahrscheinlichkeit entspricht eine Flasche Spätlese zu ziehen, richtig?

- gleiches gilt für die Spaltensumme von 1977: 0,06

Ausgehend vom Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments:

$\begin{eqnarray*} <br /> W(A \bigcup B) = W(A) + W(B) - W(A \bigcap B)<br /> \end{eqnarray*}$

Und mit der Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Komplementärereignisses:

$\begin{eqnarray*} <br /> W(\overline A) = 1 - W(A) = 1 - 0,15 = 0,85<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> W(\overline B) = 1 - W(B) = 1 - 0,06 = 0,94<br /> \end{eqnarray*}$

Würde ich jetzt versuchen weiterzukommen.

Komme ich aber nicht… leider

07.10.2014, 12:08

HAL 9000

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elementare Logik...

Zitat:

Original von mathemare
- Das Gegenereignis zu nicht Spätlese und nicht 1977 ist doch die gegebene 0,02 aus der Tabelle, also "Spätlese und 1977", oder?

NEIN!!!

(nicht Spätlese) und (nicht 1977)

ist was ANDERES als

nicht (Spätlese und 1977)

07.10.2014, 12:35

mathemare

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RE: elementare Logik...
Ok,

hab ich mir auch grad nochmal mit den de Morganschen Regeln vor Augen geführt.

$\begin{eqnarray*} <br /> \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}<br /> \end{eqnarray*}$

Gesucht ist also

$\begin{eqnarray*} <br /> W(\overline{A \cup B})<br /> \end{eqnarray*}$

richtig?

07.10.2014, 13:00

HAL 9000

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Ja, aber im vorliegenden Fall bringt es wohl eher was, die beiden "nicht"-Aussagen konkret auszuwerten, d.h.

(nicht Spätlese) und (nicht 1977) = (Qualitätswein oder Prädikatwein) und (1978 oder 1979)

was insgesamt den Werten einer 2x2-Untermatrix in der obigen Tabelle entspricht.

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07.10.2014, 13:26

mathemare

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Hmm, also darauf wäre ich jetzt überhaupt nicht gekommen.
Schon gar nicht auf eine Untermatrix. Kann ich so auch keinem Statistikbuch finden, von denen hier jede Menge liegen…

Also:

A=Spätlese
B=Qualitätswein
C=Prädikatswein
D=1977
E=1978
F=1979

Es ist jetzt also

$\begin{eqnarray*} <br /> W(\overline{A} \cap \overline{B}) = W(B \cup C) \cap W(E \cap F) \\<br /> W(\overline{A} \cap \overline{B}) = W(0,5 + 0,35) \cap W(0,3 + 0,64) \\<br /> W(\overline{A} \cap \overline{B}) = W(0,85) \cap W(0,94)<br /> \end{eqnarray*}$

richtig?

Falls ja, wie geht´s weiter?

07.10.2014, 13:48

HAL 9000

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Deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen. Wenn schon, dann doch eher so:

$\begin{align*} W(\overline{A} \cap \overline{D}) &= W((B\cup C) \cap (E\cup F)) = W((B \cap (E\cup F)) \cup (C \cap (E\cup F)))\\ &= W((B \cap E) \cup (B\cap F) \cup (C \cap E)\cup (C\cap F)) = W(B \cap E) + W(B\cap F) + W(C \cap E) + W(C\cap F) \end{align*}$

Das sind - in überlänglicher Formeldarstellung - am Ende die 2*2=4 Werte, von denen ich oben gesprochen hatte.

Wenn du die Zeilen- und Spaltensummen schon hast, kannst du alternativ auch so vorgehen:

$\begin{align*} W(\overline{A} \cap \overline{D}) &= W(\overline{A \cup D}) = 1-W(A \cup D) = 1-W(A)-W(D)+W(A\cap D) \end{align*}$

Zitat:

Original von mathemare
Kann ich so auch keinem Statistikbuch finden, von denen hier jede Menge liegen…

Ich sehe es auch nicht als grundlegende Aufgabe eines Statistikbuchs, elementare Mengenoperationen nochmal ausführlich zu üben.

07.10.2014, 14:14

mathemare

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Danke HAL 9000.
Die letzte Gleichung von dir war die entscheidende Hilfe.

Und bei meiner Rechnung vorher hätte ich statt B das D einsetzen müssen, sorry für die Verwirrung.

Ich habe nun also endlich:

$\begin{eqnarray*} <br /> W(\overline{A} \cap \overline{D}) = W(\overline{A \cup D}) = 1- W(A \cup D) = 1 - (W(A)+W(D)-W(A \cap D))<br /> <br /> W(\overline{A} \cap \overline{D}) = 1 - (0,15 + 0,06 - 0,02) = 0,81<br /> \end{eqnarray*}$

Die de Morganschen Regeln sind einfach schon zu weit weg gewesen. Ist aber auch klar, wenn man sich nicht jeden Tag damit befasst.

07.10.2014, 14:27

HAL 9000

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0.81 ist richtig, kommt auch schnell bei Summation der vier genannten Werte heraus:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular} {|c| p{1cm} | p{1cm} | p{1cm} | p{1cm} |} \hline & 1977 & 1978 & 1979 &<br /> \hline \text{Qualitätswein} & 0,01 & {\color{red}0,11} & {\color{red}0,38} &<br /> \hline \text{Prädikatswein} & \text{0,03} & {\color{red}\text{0,14}} & {\color{red}\text{0,18}} & \text{}<br /> \hline \text{Spätlese} & \text{0,02} & \text{0,05} & \text{0,08} & \text{}<br /> \hline \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ }<br /> \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

07.10.2014, 14:30

mathemare

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Danke, danke, danke!
Ich hätte nicht gedacht noch eine Lösung für diese Aufgabe zu finden!

Ich mach mich jetzt mal an die anderen Teilaufgaben.

PS: wie hast du die Tabelle erstellt? Meine hat es ja offensichtlich ein bisschen zerschossen.

07.10.2014, 14:50

HAL 9000

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Off-topic

Zitat:

Original von mathemare
PS: wie hast du die Tabelle erstellt? Meine hat es ja offensichtlich ein bisschen zerschossen.

LaTeX hier im Board, das hat so seine Besonderheiten: So entspricht jeder Zeilenvorschub im Editier-Fenster einem \\ im LaTeX-Code - das ist auch und gerade in der tabular-Umgebung zu beachten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2014, 15:53

mathemare

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Danke, gut zu wissen…

Ich hab mich inzwischen mal an 2.b) und c) versucht

b) gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche des Jahrgangs 1979 Qualitätswein ist.

Es wird also 1979 als Bedingung vorausgesetzt. Man muss also die bedingte Wahrscheinlichkeit durch Umformen der Produktformel berechnen

A=Spätlese
B=Qualitätswein
C=Prädikatswein
D=1977
E=1978
F=1979

$\begin{eqnarray*} <br /> W(B|F) = \frac {P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{0,38}{0,64} = 0,594<br /> \end{eqnarray*}$

Bei 2.c) stockt´s grad wieder…

07.10.2014, 16:02

HAL 9000

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2b) ist richtig.

Wo klemmt's denn bei 2c)? Gesucht ist da $\begin{align*} W(A\cup B\bigm| F) \end{align*}$ .

07.10.2014, 16:16

mathemare

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Genau, das hab ich hier auch schon zu stehen… bzw. hab ich B an erster Stelle

$\begin{eqnarray*} <br /> W(B \cup A |F)<br /> \end{eqnarray*}$

Dann habe ich zu erst den vorderen Teil der Bedingung berechnet
Da A und B ja unabhängig sind, kann ich die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach addieren.

$\begin{eqnarray*} <br /> W(B \cup A) = P(B) + P(A) = 0,5 + 0,15 = 0,65<br /> \end{eqnarray*}$

Nur bringt mich das nicht weiter, wenn ich im nächsten Schritt

$\begin{eqnarray*} <br /> W(0,65 |F) = \frac{W(0,65 \cap F)}{P(F)}<br /> \end{eqnarray*}$

berechnen will, weil ich ja die Schnittmenge von im Zähler auf der rechten Seite der Gleichung nicht bilden kann.

Ich nehme mal an ich muss anders ansetzen… nur wie? (und woher weiß ich das?)

07.10.2014, 16:53

mathemare

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Ich hab mal die Rechenregeln für Mengen aus dem 1. Semester nachgeschlagen.

Vielleicht ist dieser Ansatz ja besser:

$\begin{eqnarray*} <br /> P(B \cup A | F) = \frac{P((B \cup A) \cap F)}{P(F)}<br /> \end{eqnarray*}$

und mit Ausnutzen des Distributivgesetzes ist

$\begin{eqnarray*} <br /> (B \cup A) \cap F = (B \cap F) \cup (A \cap F)<br /> \end{eqnarray*}$

Könnte das hilfreich sein?

07.10.2014, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathemare
Da A und B ja unabhängig sind,

Nein, sind sie nicht: Sie sind disjunkt (=durchschnittsfremd),was etwas völlig anderes als Unabhängigkeit ist. unglücklich

unglücklich

Zur Rechnung: Es ist aufgrund dieser Disjunktheit doch einfach

$\begin{align*} P(B\cup A \mid F) = P(B \mid F) + P(A \mid F) \end{align*}$ ,

du warst in deinem letzten Beitrag fast soweit, dass nochmal "von Hand" nachzuweisen.

07.10.2014, 17:06

mathemare

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VERDAMMT!
Und ich dachte schon ich hätte es diesmal alleine geschafft.

Trotzdem nochmals DANKE!

07.10.2014, 17:08

HAL 9000

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Ein abschließendes Wort:

Ich stelle in deinem Aufschrieb ein bedenkliches Gewurstel zwischen Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten fest.

Einerseits schreibst du Wahrscheinlichkeiten an Stellen, wo nur Ereignisse stehen dürfen, wie z.B. in deinem $\begin{eqnarray*} W({\color{red}0,65} |F) \end{eqnarray*}$ . Andererseits nimmst du Ereignisoperationen wie Durchschnitt/Vereinigung an Wahrscheinlichkeiten (das sind reelle Zahlen!!!) vor, wie oben in $\begin{eqnarray*} W(B \cup C) {\color{red}\cap} W(E \cap F) \end{eqnarray*}$ .

Beides vereinigt ist dann haarsträubend in

$\begin{eqnarray*} W(\overline{A} \cap \overline{B}) = W({\color{red}0,85}) {\color{red}\cap} W({\color{red}0,94}) \end{eqnarray*}$

zu sehen - da stimmt dann einfach nichts mehr bereits von der Syntax. unglücklich

unglücklich

Gib dir also künftig mal mehr Mühe, diese Dinge sauber zu trennen:

a) Ereignisse kann man wie Mengen behandeln: Durchschnitt, Vereinigung, Komplement usw.

b) Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen, mit gängigen Operationen wie +-*/ usw.

07.10.2014, 17:15

mathemare

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Danke für den Hinweis. Das kann natürlich zu nichts führen.
Aber wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht, keine Übung hat und zudem noch unter Zeitdruck steht ist das auch kein Wunder…

Ich frage mich ja immer wieder wie man solch mathematisch logische Denkweisen etwas trainieren kann…

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