kleinster Abstand zweier Punkte

07.10.2014, 01:02

Max Power

kleinster Abstand zweier Punkte

Meine Frage:
Hallo,

bin mir bei einer Aufgabe etwas unsicher und ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Gegeben sind ein Punkt $\begin{eqnarray*} P(2/3/-1) \end{eqnarray*}$ sowie ein Punkt $\begin{eqnarray*} S_{T}(1-t/8/t), t \in \mathbb R \neq 9 \end{eqnarray*}$ . t ist so zu wählen, dass der Abstand zwischen den beiden Punkten minimal wird.

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
1. Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{M S_{T}} \end{eqnarray*}$ bilden:

$\begin{eqnarray*} \vec{M S_{T}} = S_{T} - M = (1-t/8/t) - (2/3/-1) = (-t-1/5/t+1) \end{eqnarray*}$

2. Länge des Vektors bestimmen:

$\begin{eqnarray*} | \vec{M S_{T}} | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-t-1)^{2} + 5^{2} + (t+1)^{2}} = \sqrt{t^{2} + 2t + 1 + 25 + t^{2} + 2t + 1} = \sqrt{2t^{2} + 4t + 27} \end{eqnarray*}$

3. Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ bilden und diese gleich null setzen:

$\begin{eqnarray*} f'(t) = (4t + 4) * \frac{1}{2 \sqrt{2t^{2} + 4t + 27}} = 0 \Rightarrow t = -1 \end{eqnarray*}$

4. t einsetzen:

$\begin{eqnarray*} S_{T} = (2/8/-1) \end{eqnarray*}$

Würde für mich irgendwie logisch klingen, was mich aber irritiert ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \neq 9 \end{eqnarray*}$ . Ich sehe keinen Grund, warum die notwendig sein soll...

07.10.2014, 01:25

Stephan Kulla

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RE: kleinster Abstand zweier Punkte
Soweit ich schnell im Kopf nachgerechnet habe, ist die Lösung richtig (ich würde noch zeigen, dass f(t) wirklich bei t=-1 ein Minimum besitzt).

Ich sehe auch nicht, warum die Bedingung an t gesetzt wurde, dass t nicht 9 sein darf (Mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R\neq 9 \end{eqnarray*}$ meinst du $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R\setminus \{9\} \end{eqnarray*}$ , oder?). Wenn du keine Erklärung dafür in der Aufgabe findest, dann würde ich diese Bedingung einfach "schlucken".

07.10.2014, 01:28

Mathe-Maus

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RE: kleinster Abstand zweier Punkte
Habe auch raus t=-1.

Ist das evtl. nur eine Teilaufgabe?
Gibt es noch weitere Aufgabenpunkte? (Deswegen vielleicht die Einschränkung .)

Warum bist Du nicht direkt über den Vektor PS gegangen, sondern hast noch M ins Spiel gebracht?
War doch garnicht notwendig ..

07.10.2014, 11:37

Max Power

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RE: kleinster Abstand zweier Punkte

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Ich sehe auch nicht, warum die Bedingung an t gesetzt wurde, dass t nicht 9 sein darf (Mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb \neq 9 \end{eqnarray*}$ meinst du $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb \setminus \{9\} \end{eqnarray*}$ , oder?). Wenn du keine Erklärung dafür in der Aufgabe findest, dann würde ich diese Bedingung einfach "schlucken".

Ja, meinte ich, vielen Dank (wusste nicht, wie man im Formeleditor das "\" hinbekommt Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von Mathe-Maus
Warum bist Du nicht direkt über den Vektor PS gegangen, sondern hast noch M ins Spiel gebracht?
War doch garnicht notwendig ..

Ups, in der Angabe hieß der Punkt M (weil Mittelpunkt) und ich wollte ihn P nennen Tanzen

Danke!

10.10.2014, 12:20

mYthos

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RE: kleinster Abstand zweier Punkte

Zitat:

Original von Stephan Kulla
...
(Mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb \neq 9 \end{eqnarray*}$ meinst du $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb \setminus \{9\} \end{eqnarray*}$ , oder?).

Wie ist das zu verstehen? Oder es ist ein Tippfehler (?).

mY+

10.10.2014, 12:29

Stephan Kulla

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RE: kleinster Abstand zweier Punkte

Zitat:

Wie ist das zu verstehen? Oder es ist ein Tippfehler (?).

Jop (habe ich gerade korrigiert)

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