Iteriertes Integral

07.10.2014, 16:11

Mathe 1905

Iteriertes Integral

Hi,

Ich sitz schon seid einer Weile an der Aufagebe und komme leider nicht wirklich weiter.
Wäre echt nett wenn ihr mir behilflich sein könntet smile

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Also ich weiß zwar einigermaßen wie man mit Doppelintegralen rechnet aber in diesem Fall verstehe ich nicht wirklich was genau in der Aufgabe gefragt ist und wie ich das Doppelintegral überhaupt aufstelle.

Würd mich auf eure Hilfe sehr freuen smile

07.10.2014, 16:27

Stephan Kulla

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RE: Iteriertes Integral
$\begin{eqnarray*} \int\int_D dx \end{eqnarray*}$ ist der Flächeninhalt des Gebietes D.

Bei der 1) hat $\begin{eqnarray*} \int\int_D dx \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} 1 dy dx \end{eqnarray*}$ . Es ist [a,b] die Menge aller möglichen x-Werte von D. Für ein festes $\begin{eqnarray*} \tilde x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [c(\tilde x), d(\tilde x)] \end{eqnarray*}$ die Menge aller y-Werte von den Punkten aus D, die den x-Wert $\begin{eqnarray*} \tilde x \end{eqnarray*}$ haben. Stelle dir also bei $\begin{eqnarray*} x=\tilde x \end{eqnarray*}$ eine vertikale Gerade vor (senkrecht zur x-Achse). $\begin{eqnarray*} [c(\tilde x), d(\tilde x)] \end{eqnarray*}$ ist dann die Schnittstrecke von dieser Geraden mit D.

Bei der 2) gehst du analog vor und suchst ein Integral $\begin{eqnarray*} \int_c^d \int_{a(y)}^{b(y)} 1 dx dy \end{eqnarray*}$ . Hier bestimmst du zuerst die Menge aller y-Werte [c,d] und dann für ein festes y die Schnittstrecke von D mit der horizontalen Geraden bei y.

07.10.2014, 16:28

Dopap

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$\begin{eqnarray*} 2.) A= \int_{y=0}^{y=8}\int_{x=0}^{x=y^{\tfrac 13}} 1\dd x \dd y \end{eqnarray*}$

würde ich als das mit "horizontalen Schnitten" betrachten.

was mit iteriert gemeint ist, ist mir auch nicht klar verwirrt

07.10.2014, 17:00

Mathe 1905

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Vielen Dank an euch beiden für die schnelle Antwort, jedoch leuchtet mir das ganze immernoch nicht so richtig ein unglücklich

Wie würde denn dann das Doppelintegral für die vertikale Querschnittfläche aussehen ? ist der Ansatz so richtig ?

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \int_0^? 1dxdy \end{eqnarray*}$

Dopap könntest du mir vllt erklären wie du beim zweiten Integral auf y^1/3 kommst ?

07.10.2014, 19:10

Dopap

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Zitat:

Original von Mathe 1905

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \int_0^? 1dxdy \end{eqnarray*}$

mit dem Ausdruck : Querschnittsfläche bin ich nicht glücklich. Es ist eher eine Querschnittslinie. Dein fragezeichen ist lediglich die Differenz der Randfunktionen. Also:

$\begin{eqnarray*} A=\int_0^2 \int_0^{8-f(x)} 1dxdy \end{eqnarray*}$

das ist aber nix anderes wie das übliche Integral $\begin{eqnarray*} A=\int_0^2 8-f(x)dx \end{eqnarray*}$

welches sozusagen sehr sehr kleine vertikale Rechtecke verwendet.

Zitat:

Dopap könntest du mir vllt erklären wie du beim zweiten Integral auf y^1/3 kommst ?

wenn man die Fläche mit kleinen waagrechten Rechtecken bestimmen will, dann braucht man deren (waagrechten ) "Höhen". Und die reichen eben von der y-Achse bis zum Wert der Umkehrfunktion an der "y-Stelle" y

das wird evident, wenn du alles an y=x spiegelst und dann "normal" das Integral bestimmst. Augenzwinkern

07.10.2014, 22:06

rico 27

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Also den ersten Fall habe ich verstanden, jedoch nicht den zweiten Fall. Ich kann mir immernoch nicht wirklich vorstellen wie man auf x=y^1/3 kommt unglücklich

07.10.2014, 22:28

Dopap

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das ist die Auflösung von y=x^3 nach x

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