Auf welcher Parallelen zur x-Achse werden von der Kurve drei gleichlange Strecken ausgeschnitten?

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lisam Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welcher Parallelen zur x-Achse werden von der Kurve drei gleichlange Strecken ausgeschnitten?
Meine Frage:
Es geht um die Funktion -1./16*x^4+x²
Die Frage lautet wie oben im Titel.
Alle möglichen Punkte sind mir gegeben. Ich weiß auch, dass die Kruve mit der x-Achse im ersten Quadranten die Fläche A=128/15 einschließt.

Meine Ideen:
Leider lautet mein eigener Ansatz: Ich weiß das ich irgendeine Bedingung brauche, nur weiß ich nicht welche. Kann mir jemand helfen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Deine Funktion:



Nun denk Dir irgendeine Parallele zur x-Achse, meinetwegen y=2. Die hab ich auch schon mal eingezeichnet.

Jetzt kannst Du ja die vier Schnittpunkte ausrechnen. Und die Abstände zwischen denen berechnen. Kein Problem, oder?

Gut. Jetzt schreib statt y=2 halt y=a und rechne damit. Wann, also für welches a, sind dann die Abstände gleich?

Viele Grüße
Steffen
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
meinetwegen x=2


Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla. Dankeschön, hab's korrigiert.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls nach dem von Steffen Bühler gegangenen Weg noch Interesse nach einer recht kurzen Alternative besteht (2-3 Zeilen ohne jegliche Wurzelgleichungen), dann hätte ich noch einen anderen Lösungsvorschlag.
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wäre sehr dankbar für einen anderen Lösungsweg. Die Wurzelgleichungen sind grässlich und ich habe keine Ahnung was ich mit denen anfangen soll.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hänge dir nochmal den Graphen inklusive der Parallelen zur x-Achse an.
Du siehst die 4 Schnittpunkte A,B,C und D.
Nennen wir die Koordinaten von C mal (u|f(u)).
Wie kann man dann die Koordinaten von D aufgrund der Achsensymmetrie und der Unterteilung in 3 gleich große Strecken wählen ?
Wenn du dir das überlegst, dann musst du letztendlich nur noch die Gleichung f(u)=f(...) lösen, wobei du halt nur noch auf "..." kommen musst. Augenzwinkern
Verständlich wie ich das meine ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versteh das wenn man C(u/f(u) hat dann ist der x-Wert von D 2*u. Der y-Wert ist allerdings der gleiche wie bei A,B,C und D. Setze ich jetzt f(u)=f(2u) bekomme ich drei Werte für u, einer ist 0.... Ist das der richtige Weg?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

2u stimmt noch nicht ganz (schau mal auf die Skizze, das würde ja auch nicht ganz passen).
2u wäre in der Mitte von C und D.
Also nicht 2u sondern...

Das mit den 3 Werten für u stimmt, wobei dich aber nur derjenige interessiert, der größer als null ist. smile

Und dann muss du mit dem gefundenen Wert für u noch etwas tun, nämlich ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo. Klar also 3u. Dann muss ich noch das positive u verdoppeln?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

3u passt. Freude

Verdoppeln musst du nichts, denke nochmal an die Aufgabenstellung:

Zitat:
Auf welcher Parallelen zur x-Achse werden von der Kurve drei gleichlange Strecken ausgeschnitten?


Nun ist dein gefundener Wert für u ja nicht die gesuchte Parallele zur x-Achse, sondern ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht was der gefundene Wert sein soll, aber die drei Strecken sind 2u lang.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja der gefundene (positive) Wert für u (nenne ihn doch mal bzw poste mal dein Ergebnis) ist halt die x-Koordinate des Schnittpunktes C.
Nun ist aber diese Parallele zur x-Achse gesucht, also eine Geradengleichung.
Wie könnte diese denn nun lauten bzw. was benötigt man dafür ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Ist für mich jetzt nicht so einleuchtend. Für u habe ich 15^(1/2)/5 aber das kann ja nicht sein weil der y-Wert für C wäre dann 0,54... Wenn ich den richtigen y-Wert für C hätte wäre die Geradengleichung y=der Wert
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist nicht einleuchtend ?

Zu lösen ist die Gleichung f(u)=f(3u), was nach umstellen zur Gleichung führt.
Hast du das auch ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Man setzt ja praktisch zwei y-Wert gleich, wieso soll das ein x-Wert für einen Punkt rauskommen?
Ja die Gleichung habe ich auch. Mein Taschenrechner gibt mir dann
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du das falsch in deinen Taschenrechner eingegeben.
Man kann die Gleichung ja auch von Hand ganz einfach lösen, indem man u² ausklammert und dann den Term in der Klammer nach u auflöst.
Näheres kann man jetzt aber nur sagen, wenn du deinen Rechenweg postest.

Zitat:
Man setzt ja praktisch zwei y-Wert gleich, wieso soll das ein x-Wert für einen Punkt rauskommen?


Man sucht den Wert für u, so dass die y-Werte an den Stellen u und 3u übereinstimmen, denn das müssen sie ja, wenn die geforderte Dreiteilung in Kombination mit der Achsensymmetrie stattfinden soll.
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!! Okay ich habs kapiert. Ist die Geradengleichung: y=1,6?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, wie ist deine 1,6 entstanden ?
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

= 5u^4-8u^2= u^2(5u^2-8) -> u,=0
5u^2=8 durch 5: u^2=8/5 Wurzelziehen: u=+-Wurzel8/5=1,6
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

u=wurzel(1,6) stimmt Freude
Nur damit muss jetzt ja noch etwas passieren, denn die gesuchte Gerade entspricht ja nicht der x-Koordinate von C, sondern der y-Koordinate.
Daher musst du nun noch f(wurzel(1,6)) bilden und tu das ruhig ohne irgendein runden, da kommt am Ende ein relativ glattes Ergebnis raus.
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Gleichung y=1,44? Sowas kann man ohne Taschenrechner aber nicht machen, oder? Meine Lehrerin möchte das ich das ohne Taschenrechner mache und ich verstehe nicht wie das funktionieren soll.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau y=1,44 passt Tanzen

Man kann das auch zu Fuß rechnen:



ABer es wird sicherlich auch keinen Punktabzug geben, wenn du sowas dann eben in den TR eingibst. Augenzwinkern
Jeden y-Wert, der mal auftaucht, mühsam von Hand auszurechnen, das kostet halt auch Zeit.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich auch noch schnell danke sagen für diese elegante Lösungsmethode. Ich muss zugeben, ich wäre nicht drauf gekommen.

Sooo grässlich wäre mein Weg allerdings auch nicht gewesen. Der Vollständigkeit halber hier die Anfangschritte:

Wenn die Funktion mit a gleichgesetzt wird, ergeben sich ja diese vier Lösungen:


Dann soll der Abstand vom größten Wert zum linken Nachbarn derselbe sein wie der von diesem zu dessen linkem Nachbar. Der größte Wert ergibt sich, wenn alle Plusminuszeichen auf Plus stehen, die anderen entsprechend.

Mit etwas Umformen kommt man dann auf



Das wird quadriert, noch etwas weiter umgeformt, und es ergibt sich ebenfalls a=1,44.

Viele Grüße
Steffen
lisam Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe! Wink
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