Unterschied zwischen zwei Sätzen

07.10.2014, 20:47

Frageee

Unterschied zwischen zwei Sätzen

Meine Frage:
Was ist denn der Unterschied zwischen den folgenden zwei Sätzen?

Satz 1:
Symmetrische Bilinearformen auf endlichdimensionalen Vektorräumen lassen sich bei geeigneter Basiswahl durch Diagonalmatrizen darstellen.

Satz 2:
Sei (,) eine symmetrische Bilinearform auf V (euklidischer Raum). Dann gibt es eine Orthonormalbasis, bezüglich der (,) durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Meine Ideen:
Aus meiner Sicht unterscheiden sich die beiden Sätze nur dadurch, dass Satz 2 auf positiv definite Bilinearformen eingeschränkt wird. Also folgt Satz 2 eigentlich aus Satz 1. Im Skript wird Satz 2 allerdings bewiesen, obwohl Satz 1 schon bewiesen wurde. Übersehe ich etwas ?

07.10.2014, 22:40

Stephan Kulla

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unterschied zwischen zwei Sätzen
Im Satz 2 hast du noch den Zusatz, dass du eine orthonormale Eigenbasis finden kannst. Diese Einschränkung gibt es im ersten Satz nicht.

07.10.2014, 23:06

Frageee

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine Basis finden kann, sodass die Matrix der Bilinearform Diagonalgestalt, dann handelt es sich um eine Orthogonalbasis, oder? Dann ist der Unterschied zwischen den beiden Sätzen also, dass man die Orthogonalbasis in Satz 2 zusätzlich normiert finden kann?

08.10.2014, 00:14

Stephan Kulla

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn man eine Basis finden kann, sodass die Matrix der Bilinearform Diagonalgestalt, dann handelt es sich um eine Orthogonalbasis, oder?

Nein, dem ist nicht so. Nehme als Gegenbeispiel eine Matrix A, die definiert ist durch

$\begin{eqnarray*} A\binom 10 = \binom 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\binom 11 = \binom 22 \end{eqnarray*}$

Der eine Eigenvektor ist immer ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \binom 10 \end{eqnarray*}$ und der andere Eigenvektor ist immer ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \binom 11 \end{eqnarray*}$ . Es ist also unmöglich eine orthogonale Eigenbasis zu finden, weil $\begin{eqnarray*} \binom 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom 11 \end{eqnarray*}$ nicht senkrecht aufeinander stehen.

Zitat:

Dann ist der Unterschied zwischen den beiden Sätzen also, dass man die Orthogonalbasis in Satz 2 zusätzlich normiert finden kann?

Jede Orthogonalbasis kann normiert werden.

08.10.2014, 08:10

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Stephan, du wirfst hier lauter Dinge durcheinander, die nichts mit der eigentlichen Frage zu tun haben.

Satz 1 sagt, dass man eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray*} \neq 2 \end{eqnarray*}$ (diese Voraussetzung fehlt im ersten Beitrag) bei geeigneter Basiswahl durch eine Diagonalmatrix darstellen kann. Äquivalent ausgedrückt heißt das: ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine symmetrische $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix mit Einträgen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , so gibt es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} X\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} X^{tr}AX \end{eqnarray*}$ diagonal ist.
Satz 2 spezialisiert das für positiv definite (das steht auch nicht explizit im ersten Beitrag, muss aber dort stehen) symmetrische Bilinearformen über dem Körper der reellen Zahlen.

Mit Eigenvektoren hat das alles erstmal nicht so viel zu tun. Im zweiten Fall entsteht aber ein Zusammenhang durch den Spektralsatz, der aussagt, dass man zu einer symmetrischen reellen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} T^{tr}AT \end{eqnarray*}$ diagonal ist. Wobei dieser Zusammenhang hier, bei positiv definiten Bilinearformen, uninteressant ist. Interessanter ist der Zusammenhang zwischen den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerten und der Signatur von indefiniten und/oder ausgearteten Bilinearformen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Das ist der Themenkomplex um den Trägheitssatz von Sylvester, welcher im wesentlichen die algebraische Theorie quadratischer und Bilinearformen über den reellen Zahlen erklärt. Über anderen Körpern ist diese Theorie über anderen Körpern deutlich komplizierter ist, wie ich im folgenden Absatz lediglich andeute.

Du schreibst nämlich ferner, jede Orthogonalbasis könne normiert werden, was den ersten Satz "unnötig" machen würde, Satz 2 hätte dann so zu sagen stets Gültigkeit. Über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ wird man jedoch für die durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellte Bilinearform keine Orthonormalbasis finden können - da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Daran kann man auch erahnen, was den zweiten Satz über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ richtig werden lässt. Dabei ist jedoch die positive Definitheit entscheidend, denn zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird man auch keine Orthonormalbasis finden können, da $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kein Quadrat ist.

PS: Der Fragesteller hat hier völlig recht:

Zitat:

Im Fall einer Orthonormalbasis wäre diese Diagonalmatrix dann speziell die Einheitsmatrix.

08.10.2014, 10:19

Stephan Kulla

Auf diesen Beitrag antworten »

@Jester: Sorry, da war ich zu vorschnell mit meiner Antwort...

Neue Frage »

Antworten »

Unterschied zwischen zwei Sätzen

Verwandte Themen