Differenzierbarkeit einer Funktion

08.10.2014, 13:56

Geminio

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Differenzierbarkeit einer Funktion

Meine Frage:
Die Funktion f(x)=x|x| soll differenzierbar im gesamten Bereich der reellen Zahlen sein.

Meine Ideen:
Um das zu zeigen, habe ich die h-Methode versucht, wo man den Grenzwert für h gegen 0 ausrechnet, und bin bis hierhin gekommen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(h)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)| x+h |-h }{h} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich den Betrag behandeln muss, der ja außerdem bewirkt, dass es keinen Grenzwert bei 0 gibt, oder?

08.10.2014, 14:30

Yakyu

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Hallo,

1. Du hast ein Fehler in deiner Beschreibung, im ersten Grenzwert muss im Zähler
f(x+h) - f(x) stehen (du hast -f(h)).

2. Wie sieht die Funktion für x>0, und x<0 aus? Sind diese Funktionen auf den Bereichen differenzierbar?

3. Wo ist eine kritische Stelle an der die Diffbarkeit eigentlich überprüft werden muss?
Vorschlag: An dieser Stelle mal linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von den Funktionen aus
(2.) berechnen und Erkenntnis schließen.

08.10.2014, 15:46

Stephan Kulla

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Kleiner Zusatz zu Yaku's guten Anmerkungen (@Yaku: Ich hoffe das geht in Ordnung): Wenn du an der kritischen Stelle den Nachweis über den Differentialquotienten führen willst, dann setze mal bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)| x+h |-x }{h} \end{eqnarray*}$

konkret x=0 ein.

08.10.2014, 15:56

Geminio

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Oh ja, das ist, falsch, danke smile

smile

Für x>0 ist f(x)=x^2 und für x<0 ist f(x)=-x^2. Dass die beiden Funktionen diffbar sind kann ich zeigen, aber was mache ich für x=0? Das wäre ja einfach 0. Zeige ich damit, dass f diffbar ist?

08.10.2014, 16:13

Stephan Kulla

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Zitat:

Dass die beiden Funktionen diffbar sind kann ich zeigen, aber was mache ich für x=0? Das wäre ja einfach 0. Zeige ich damit, dass f diffbar ist?

Siehe mein Beitrag oder Anmerkung (3) von Yakyu.

Für Yakyu's Methode: Du hast ja für x > 0 die Ableitung 2x. Wenn du den Limes x -> 0 nimmst, dann erhältst du den von rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung. Welchen bekommst du? Wie sieht es mit dem linksseitigen Ableitungsgrenzwert aus? Was erhältst du da? Welchen Schluss ziehst du daraus.

@Yakyu: Machst du hier weiter? Ich will dir ungern den Thread wegnehmen...

08.10.2014, 18:41

Geminio

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Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind nicht gleich, das heißt die Funktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

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08.10.2014, 22:23

Stephan Kulla

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@Yakyu: Ich mach mal weiter...

@Geminio: Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0, x < 0} -2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0, x > 0} 2x \end{eqnarray*}$ ?

08.10.2014, 22:34

Geminio

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0, x < 0} -2x = \lim_{x\rightarrow 0, x > 0} 2x = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$
Was dann wiederum bedeutet, dass f im gesamten Bereich von R differenzierbar ist?

08.10.2014, 22:37

Stephan Kulla

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Richtig

Augenzwinkern

Alternativ hättest du auch

$\begin{eqnarray*} f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(0+h)| 0+h |-0 }{h} =\lim_{h \to 0} \frac{h|h | }{h}=\lim_{h \to 0} |h | =0 \end{eqnarray*}$

zeigen können.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0, x < 0} -2x = \lim_{x\rightarrow 0, x > 0} 2x = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wichtig ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0, x < 0} -2x = \lim_{x\rightarrow 0, x > 0} 2x = 0 \end{eqnarray*}$ und nicht, dass beide Grenzwerte größer gleich null sind.

08.10.2014, 22:45

Geminio

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Ok, danke

smile

Kannst du mir auch helfen, wie man die Ableitung der Funktion bildet?
Das habe ich auch mit der h-Methode versucht, aber das war nicht so wirklich erfolgreich. Gibt es überhaupt eine Möglichkeit, die Ableitung auch mit Beträgen zu schreiben?

08.10.2014, 22:55

Stephan Kulla

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Mach eine Fallunterscheidung in x < 0, x = 0 und x > 0 und bilde für alle drei Fälle jeweils den Differentialquotienten. Ohne Fallunterscheidung wirst du es kaum schaffen...

08.10.2014, 23:02

Geminio

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Die Ableitungen sind 2, -2 und 0 für die verschiedenen Fälle. Es gibt also keine Möglichkeit, die Ableitung in einer einzelnen Gleichung zu schreiben?

08.10.2014, 23:18

Stephan Kulla

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Zitat:

Die Ableitungen sind 2, -2 und 0 für die verschiedenen Fälle.

Du meinst 2x, -2x und 0, oder?

Zitat:

Es gibt also keine Möglichkeit, die Ableitung in einer einzelnen Gleichung zu schreiben?

Mir fällt nicht ein, wie das gehen sollte...

08.10.2014, 23:22

Geminio

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Oh ja

Hammer

Ich habe nur die Ableitungen auf meinem Zettel gesehen, und sie gleich nochmal abgeleitet, hehe ...

Hm, schade Big Laugh

Big Laugh

Ich danke dir jedenfalls vielmals für deine Hilfe! Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.10.2014, 23:31

Yakyu

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Hi,

erstmal danke @Stephan für's übernehmen smile

smile

. Hier noch paar Anmerkungen:

Durch die Fallunterscheidung ergeben sich je nach x verschiedene Ableitungsfunktionen, die du aber hier wieder zusammenfassen kannst. Die Ableitung würde also lauten
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2|x| \end{eqnarray*}$

wie man direkt drauf kommt? Hmm schwierig also, normaler weise kannst du
$\begin{eqnarray*} f(x) = x*|x| \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} f(x) = sgn(x)*x^2 \end{eqnarray*}$
Wobei sgn(x) die Vorzeichenfunktion beschreibt. Die sgn-Funktion ist an sich diffbar für $\begin{eqnarray*} x \neq 0, \quad sgn'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Durch Produktregel kommst du auf
$\begin{eqnarray*} f'(x) = sgn(x)2x = 2|x|, \quad x\neq 0 \end{eqnarray*}$ und da du gezeigt hast, dass die Funktion in x = 0 diffbar ist, gilt die Ableitung auch dort (analog kannst du auch hier zeigen dass die Ableitung eine stetige Erweiterung in x = 0 hat und f somit diffbar ist).

Mit der nach dir benannten "H-Methode", die eigentlich auch "Differenzialquotient" genannnt wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

, kannst du übrigens auch auf das obige Ergebnis kommen.

08.10.2014, 23:38

Geminio

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Ich danke dir für die interessanten Anmerkungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Unser Lehrer in der Schule hat das immer "h-Methode" genannt, also habe ich diese Bezeichnung immer für mich weiterbehalten, aber ehrlich gesagt habe ich mich schon gefragt, ob es da nicht auch einen etwas "seriöseren" Namen gibt Big Laugh

Big Laugh

Also vielen Dank für die Hilfe!

08.10.2014, 23:45

Guppi12

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Möchte noch etwas hierzu schreiben:

Zitat:

analog kannst du auch hier zeigen dass die Ableitung eine stetige Erweiterung in x = 0 hat und f somit diffbar ist

Das funktioniert im Allgemeinen nicht. Es gibt Funktionen, deren Ableitung an einer Stelle nicht existiert und deren Ableitungfunktion trotzdem eine stetige Fortsetzung an dieser Stelle hat.

Einfachstes Beispiel wäre zum Beispiel die Signumsfunktion.

08.10.2014, 23:49

Yakyu

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Du hast vollkommen recht, in diesem Fall funktioniert es nur, weil die ursprüngliche Funktion in diesem Punkt stetig ist.

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