Standardnormalverteilung - zusammengesetzte Werte

08.10.2014, 18:39	tritonus	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardnormalverteilung - zusammengesetzte Werte Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich die Lösung nicht verstehe. V.a. die Umformung bereitet mir Schwierigkeiten. Hier erst mal die Angaben: Eine Brauerei überprüft die Abfüllmenge von Bierflaschen, deren Abweichung von der Normmenge normalverteilt ist mit N(mu, $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ ). Eine Stichprobe der Menge 13 wurde gezogen. Stichprobenmittelwert und Signifikanzniveau: $\begin{eqnarray} \bar{x} = -0,0055 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = 0.05 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma = 0.01 \end{eqnarray}$ Aufgabe: Sei nun $\begin{eqnarray} mu = -0.008 \end{eqnarray}$ der tatsächliche Wert von mu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art bei dem Test aus der vorigen Aufgabe? Meine Ideen: In der vorigen Aufgabe wurde folgender Test durchgeführt (wobei mu=0 angenommen wurde): $\begin{eqnarray} T(X_1, ..., X_n) = \sqrt{n}\frac{\bar{X} - mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(X_1, ..., X_{13}) = \sqrt{13}\frac{-0.0055 - 0}{0.01} = -1.9969 < -1.96 = -z_{1-\alpha/2} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz für die Fehlerwkt. 2.Art: Sei $\begin{eqnarray} y = -0.008 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta(y) = P(-z_{1-\alpha/2} \leq \sqrt{n}\frac{\bar{X}}{\sigma} \leq z_{1-\alpha/2}) \end{eqnarray}$ Erweitern mit $\begin{eqnarray} -\sqrt{n}\frac{y}{\sigma} \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} P(-z_{1-\alpha/2} - \sqrt{n}\frac{y}{\sigma} \leq \sqrt{n}\frac{\bar{X} - y}{\sigma} \leq z_{1-\alpha/2} - \sqrt{n}\frac{y}{\sigma}) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich ja die gewünschte Transformation von $\begin{eqnarray} N(mu, \sigma^2 \end{eqnarray}$ ) auf $\begin{eqnarray} N(0,1) \end{eqnarray}$ , so dass ich die Standardnormalverteilung anwenden kann. $\begin{eqnarray} \Phi(z_{1-\alpha/2} - \sqrt{n}\frac{y}{\sigma}) - \Phi(-z_{1-\alpha/2} - \sqrt{n}\frac{y}{\sigma}) \end{eqnarray}$ Werte einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} \Phi(z_{0.975} - \sqrt{13}\frac{-0.008}{0.01}) - \Phi(-z_{0.975} - \sqrt{13}\frac{-0.008}{0.01}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi(z_{0.975} + 0.2884) - \Phi(-z_{0.975} - 0.2884) \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich nicht, wie ich die Werte innerhalb von $\begin{eqnarray} \Phi(z_{0.975} + x) \end{eqnarray}$ miteinander verrechnen soll/ kann. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \Phi(z_{\alpha}) = \alpha \end{eqnarray}$ ist, aber damit komme ich nicht weiter. In der Lösung geht es dann plötzlich so weiter: $\begin{eqnarray} \Phi(4.844) - \Phi(0.9244) \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich dann wieder klar und bekomme: $\begin{eqnarray} 1 - 0.822 = 0.178 \end{eqnarray}$ Besten Dank für Hinweise und Hilfe! Zweiter Beitrag, in dem lediglich gebeten wird, das Thema in ein anderes Unterforum zu verschieben, wurde gelöscht. Sonst sieht es so aus, als ob schon geantwortet wird. Und das Thema fühlt sich in der Schulmathe recht wohl. Steffen

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