Integralrechnung: trigonometrische Substitution

08.10.2014, 18:45

leo95

Integralrechnung: trigonometrische Substitution

Meine Frage:
Hallo,

ich habe gerade folgendes Integral vor mir:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{(x^{2}*\sqrt{1-x^{2}})}) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich soll das mit Hilfe dieser Substitution lösen: x = $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Ich habe die Formel sin^2(x) + cos^2(x) = 1 benutzt

Meine Ideen:
Nach einigem herumrechnen und rückeinsetzen komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Ich habe mein Ergebnis nun verglichen aber es ist nicht korrekt.
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1-x^{2} } }{-x} \end{eqnarray*}$
Das sollte das richtige Ergebnis sein.

Ich finde meinen Fehler einfach nicht. Mein letzer Schritt wäre $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{\sin^{2} (x) } ) \, dx \end{eqnarray*}$
Das integriert ist ja -cot(alpha)
Nun setzte ich für -cos/sin ein und erhalte mein Ergebnis.
Kann mir jemand helfen?

08.10.2014, 19:10

Helfer (anonym)

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Ohne Rechenweg ist natürlich schwer zu sagen, wo es hapert. Hinweis aus den Additionstheoremem folgt cos^2=(1+cos(2x))/2 und sin^2=(1-cos(2x))/2. Eventuell hilft dir das...

08.10.2014, 19:33

leo95

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{\cos^{2} (\alpha ) *\sqrt{1-\cos^{2} (\alpha )}} ) \, \frac{d\alpha}{-\sin(\alpha ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{(1-\sin^{2} (\alpha )) *{sin(\alpha )}} ) \, \frac{d\alpha}{-\sin(\alpha ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{(sin(\alpha )) +{(-sin^{3} (\alpha ))}} ) \, \frac{d\alpha}{-\sin(\alpha ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{(-sin^{2}(\alpha )) +{sin^{4} (\alpha )}} ) \, d\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1}{\sin^{2}(\alpha ) } ) \, d\alpha \end{eqnarray*}$ =

- 1/tan(alpha) =

-cot(alpha) =

-cos(alpha)/sin(alpha)

sin(alpha) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-cos^{2}\alpha } \end{eqnarray*}$

wenn man nun für x = cos einsetzt ergibt das

$\begin{eqnarray*} \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

08.10.2014, 19:47

Helfer (anonym)

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Kann es sein, dass es dx = -sin(alpha)*dalpha heißen muss?

08.10.2014, 19:53

leo95

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ja so sollte es sein..
tut mir leid ich komm grad gar nicht weiter. wo liegt mein fehler?

08.10.2014, 19:56

Helfer (anonym)

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Dann steht -sin(alpha) doch im Zähler und lässt sich mit dem sin im Nenner kürzen. dann wäre nur noch das Integral 1/cos^2 zu lösen, oder sehe ich das falsch?

08.10.2014, 19:58

leo95

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ja das stimmt.
ich komm grad nicht drauf wie ich zu diesem dx = -sin(alpha)*dalpha komme.
Ich denke ich habe hier den fehler eingebaut
könntest du eventuell nur diesen teil erklären? wie ich zu dx = -sin(alpha)*dalpha komme?

08.10.2014, 20:03

Helfer (anonym)

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Zitat:

Original von leo95
ja das stimmt.
ich komm grad nicht drauf wie ich zu diesem dx = -sin(alpha)*dalpha komme.
Ich denke ich habe hier den fehler eingebaut
könntest du eventuell nur diesen teil erklären? wie ich zu dx = -sin(alpha)*dalpha komme?

Nun x ist laut Substitution cos(alpha) leite jetzt x nach alpha ab. Dann kommt -sin(alpha) raus oder anders dx/dalpha = -sin(alpha). Daraus folgt dx = -sin(alpha)*dalpha

08.10.2014, 20:06

leo95

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aja vielen herzlichen dank! smile