Vollständige Induktion Ungleichung

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Tartarus Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Ungleichung
Hallo liebe Leute,

ich habe 2 Ungleichungen, die ich per vollständiger Induktion beweisen soll.
Es wäre nett wenn mal einer rüber gucken könnte.

1. Es gilt n² > n+1 für alle n>=2
2. Es gilt n² >= 2n+3 für alle n>=3

Meine Ansätze:

1.

Induktionsanfang: n0 = 2 2² = 4 > 3 = 2+1 somit gilt der Ia

Induktionsannahme: Es existiert ein (n>=2) mit n²>n+1

Induktionsschritt: Zu zeigen ist (n+1)²>n+2
(n+1)(n+1) = n²+2n+1 > n+2+2n > n+2 q.e.d
(linke Seite umgeformt und für n², n+1 eingesetzt laut Induktionsvorraussetzung)

2.

Induktionsanfang: n0 = 3 3² = 9 >= 9 = 2*3+3 somit gilt der Ia

Induktionsannahme: Es existiert ein (n>=3) mit n²>=2n+3

Induktionsschritt: Zu zeigen ist (n+1)²>2n+5
(n+1)(n+1) = n²+2n+1 >= 2n+3+2n+1 = 2n+4+2n >= 2n+5 da n>=3 q.e.d (kann man das so schreiben?)

und sorry für die Formatierung des Textes, das ist mein erster Post und ich weiß nicht so genau wie ich in "schön" schreibe.
Bin für jegliche Hilfe dankbar.

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte in Ordnung sein.
Auf deinem Zettel solltest du über die entsprechenden Relationszeichen (also >) schreiben, wann du die Induktionsvoraussetzung einsetzt.

Zitat:
(n+1)(n+1) = n²+2n+1 >= 2n+3+2n+1 = 2n+4+2n >= 2n+5 da n>=3 q.e.d (kann man das so schreiben?)


Du kannst auch ruhig zusammenfassen:



Bei 4n+4 hat man einfach 2n hergenommen und mit der 3 nach unten abgeschätzt. Daher kommt die
und das ist ja nun offensichtlich größer als
Tartarus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tartarus
2. Es gilt n² >= 2n+3 für alle n>=3

Das per Vollständiger Induktion nachzuweisen, ist wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen:

für ist unmittelbar klar, da in der Faktorisierung beide Faktoren nichtnegativ sind.

Bei 1. geht es ähnlich schnell. Generell gibt es für Polynomungleichungen bessere Methoden als Vollständige Induktion, da im Induktionsschritt ja wieder eine Polynomungleichung zu beweisen ist, die nur einen Grad kleiner ist.
Tartarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Tartarus
2. Es gilt n² >= 2n+3 für alle n>=3

Das per Vollständiger Induktion nachzuweisen, ist wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen:

für ist unmittelbar klar, da in der Faktorisierung beide Faktoren nichtnegativ sind.

Bei 1. geht es ähnlich schnell. Generell gibt es für Polynomungleichungen bessere Methoden als Vollständige Induktion, da im Induktionsschritt ja wieder eine Polynomungleichung zu beweisen ist, die nur einen Grad kleiner ist.


Das mag sein. Aber meine Aufgabe bestand darin es mit der vollständigen Induktion nachzuweisen smile
 
 
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