Bruch vereinfachen

09.10.2014, 16:20	who	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch vereinfachen Hallo zusammen! Folgenden Bruch versuche ich zu vereinfachen: $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{4(n^{2}+2n)+3} \end{eqnarray}$ folgendes habe ich versucht: $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{4(n^{2}+2n)+3}= \frac{n(4n^{2}+8n+3)+2n+1}{(2n+1)(4n^{2}+8n+3)}=\frac{4n^{3}+8n^{2}+5n+1}{8n^{3}+20n^{2}+14n+3} \end{eqnarray}$ Aber naja, so komme ich nicht weiter. Ich denke, ich muss gleich am Anfang folgendes vereinfachen: $\begin{eqnarray} 4(n^{2}+2n)+3 \end{eqnarray}$ Habt ihr einen Tipp für mich? Gruß
09.10.2014, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} 4n^2+8n+3 = (2n+1)(2n+3) \end{align}$ vereinfacht die Dinge...
09.10.2014, 16:37	who	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine Nachricht! Wie kann ich das so schnell sehen? Gibt es hierfür eine Regel? Gruß, who
09.10.2014, 16:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, quadratische Gleichung lösen... Bzw., wie lautet denn oben deine eigentliche Aufgabe? Ich tippe mal auf sowas wie "Induktionsbeweis von $\begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1} = \frac{n}{2n+1} \end{align}$ .
09.10.2014, 16:51	who	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja genau, das ist die eigentliche Aufgabe. Ich hänge eben nur noch am letzten Schritt. Gruß
09.10.2014, 17:18	who	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe nun dein Hinweis benutzt (aber noch nicht verstanden, weshalb dies nun so gilt) und komme schon wieder nicht weiter. Im Anhang findet ihr meine Rechnung. Kann mir das jemand erklären? Gruß
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09.10.2014, 17:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja nicht verboten, einen Blick aufs gewünschte Ergebnis zu werfen: Da erwarten wir $\begin{align} \frac{n+1}{2n+3} \end{align}$ , und du stehst zuletzt bei (zusammengefasst) $\begin{align} \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \end{align}$ . Da ist es doch naheliegend zu vermuten, dass man im Zähler (2n+1) ausklammern kann, um dann kürzen zu können, und mit Blick auf das Ergebnis sollte klar sein, dass also nur noch $\begin{align} 2n^2+3n+1 \stackrel{?}{=} (n+1)(2n+1) \end{align}$ zu verifizieren ist, was von rechts nach links gelesen doch nun kein Problem sein sollte... ---------------------------------------- Dass auf der rechten Seite der Behauptung nicht $\begin{align} \frac{n}{2n+1} \end{align}$ , sondern inhaltlich gleich, aber in anderer Form $\begin{align} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \end{align}$ steht, ist eigentlich schon ein Wink mit dem Zaunpfahl, wie man da anders herangehen kann: Am schnellsten geht es hier mit Partialbruchzerlegung des Summanden, sprich $\begin{align} \frac{1}{4k^2-1} = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \end{align}$ . Dies berücksichtigend lassen sich sämtliche längeren Multiplikationsorgien hier vermeiden.
09.10.2014, 20:41	who	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank für deine Hilfe. Habe es nun auf beide Methoden gelöst und vor allem verstanden! Danke, Gruß

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