Mengen

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen
Hallo, dies ist nun wirklich die letzte Aufgabe der Woche.

Bei Bsp. 8)

Hier habe ich einfach einen reellen Zahlenstrahl gezeichnet und einen festen, aber beliebigen Punkt mit x gekennzeichnet. In der Umgebung von x existiert ein Wert Epsilon.

Also graphisch etwa so: (bei mir ist a=x)

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%...on_Umgebung.svg

Nun zum schwierigen Teil, die Folgerung:

Ich weiß, dass die Aussage richtig ist weil



nichts anderes als die Lösungsmenge.

Was ist jetzt mit Folgerung gemeint? Ein Freund meinte, dass dies mit vollständiger Induktion funktioniere?

Zu Bsp. 9)

Unter welchen Voraussetzungen ist eine der beiden Mengen in der anderen enthalten?



Annahme: a=1



und zwar im Intervall ]-1,1[

Annahme: 0<a<1



Intervall ]-a,a[

In allen anderen Fälle ist keiner der beiden Mengen in der anderen enthalten.
(oder kann eine leere Menge in einer anderen nicht leere Menge enthalten sein?)


Stimmt das? Habe ich die gefragte Inklusion schon erfüllt?

Danke





[attach]35654[/attach]
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

in der ersten Aufgabe zeigst du die Äquvialenz ganz einfach durch Fallunterscheidung.

Bei der zweiten Aufgabe kann ich dir so nicht recht geben, schreib doch die Mengen als Intervalle, dann siehst du recht schnell was Sache ist.

M = ]unendlich, a[, N = ]-a,a[

Dann betrachte einfach die Fallunterscheidung a >0 und a kleiner gleich 0.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Also noch zum 1. Bsp.

sei x=7, Epsilon=3.... so muss y: 4<y<7........weil 7+3=10 7-3=4
Das bedeutet also Folgerung

Bsp. N=]-a²,a²[....so muss es richtig lauten

Im Fall 0<=a<1....ist dann N noch in M enthalten wenn a plötzlich 0 wäre und N eine leere Menge ist

Ansonsten gibt es keine Teilmengen mehr oder?

Danke
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein,

N = ]-a,a[
warum? Wenn x^2 < a^2 sein soll, dann muss gelten -a < x < a, wenn a > 0 bzw a < x < -a für a <0.
denn die Menge N beschreibt ja alle x in R mit dieser Eigenschaft.



Wenn a > 0, dann ist N eine Teilmenge von M, wenn a = 0, dann ist N eine leere Menge, wenn a > 0, dann sind M und N disjunkt.

Und zu Aufgabe 1: Wähle ein beliebige reelle Zahl x und e > 0, dann



dann gilt:
Also gilt die Äquivalenz der Aussagen.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke.

kurz zusammengefasst.

wenn:


wenn:
a<0......N und M disjunkt

Was ist bei diesem Bsp. die Inklusion?
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